2016_2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程5圆锥曲线的共同性质学案苏教版.docx

2.5圆锥曲线的共同性质1.了解圆锥曲线的共同性质.(重点)2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题.(难点)基础初探教材整理圆锥曲线的共同性质阅读教材P53至思考以上部分，完成下列问题.1.圆锥曲线的共同性质：圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离之比是一个常数e.这个常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F就是圆锥曲线的焦点，定直线l就是该圆锥曲线的准线.2.圆锥曲线离心率的范围：(1)椭圆的离心率满足0e1，(2)双曲线的离心率满足e1，(3)抛物线的离心率满足e1.3.椭圆和双曲线的准线方程：根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是x.1.判断正误：(1)到定点F与定直线l的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线.()(2)离心率e1时不表示圆锥曲线.()(3)椭圆的准线为x(焦点在x轴上)，双曲线的准线为x(焦点在x轴上).【解析】(1).定点F不在定直线l上时才是圆锥曲线.(2).当e1时表示抛物线是圆锥曲线.(3).双曲线的准线也是x.【答案】(1)(2)(3)2.离心率为，准线为x4的椭圆方程为_.【解析】由题意知a2，c1，b23，椭圆方程为1.【答案】1质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型求焦点坐标及准线方程求下列曲线的焦点坐标和准线方程：(1)x2y22；(2)4y29x236；(3)x24y0；(4)3x23y22.【导学号：24830053】【精彩点拨】把方程化为标准形式后，确定焦点的位置、利用公式求解.【自主解答】(1)化方程为标准形式：1.焦点在x轴上，a22，b22，c24，c2.焦点为(2,0)，准线方程为x1.(2)化方程为标准形式：1.焦点在y轴上，a29，b24，c.焦点坐标为(0，)，准线方程为y.(3)由方程x24y知，曲线为抛物线，p2，开口向下，焦点为(0，1)，准线为y1.(4)化方程为标准形式1，a2，b2，c，故焦点为.准线方程为y.1.已知圆锥曲线方程求焦点坐标、准线方程的一般思路是：首先确定圆锥曲线的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数值a，b，c或p，最后根据方程的特征写出相应的焦点坐标、准线方程.2.注意：椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线，应区别对待.再练一题1.求下列圆锥曲线的焦点坐标和准线方程：(1)3x24y212；(2)2x2y24.【解】(1)化方程为标准形式：1.焦点在x轴上，a24，b23，c21，c1.焦点坐标为(1,0)，准线方程为x4.(2)化方程为标准形式：1.焦点在x轴上，a22，b24，c26，c.焦点坐标为(，0)，准线方程为x.利用圆锥曲线的定义求距离双曲线1上有一点P，它到右准线的距离为，求它到左焦点的距离.【精彩点拨】首先判定点P在双曲线的左支还是右支上，然后利用性质把到准线的距离转化为到焦点的距离求解.【自主解答】双曲线1的左准线和右准线分别为x和x，若点P在双曲线的左支上，则点P到右准线的最小距离为(3)，故点P不可能在左支上，而在右支上，所以点P到右焦点的距离为e，再根据双曲线的定义知PF1PF26，即PF16PF26.即点P到左焦点的距离为.解决这类圆锥曲线上点到焦点和准线的距离问题的一般思路有两种：(1)先利用统一定义进行曲线上点到焦点与相应准线距离之间的相互转化，再利用对应的圆锥曲线定义进行曲线上点到两不同焦点距离之间的转化来解决；(2)把思路(1)的两步过程交换先后顺序来解决.再练一题2.椭圆1上有一点P，它到椭圆的左准线的距离为，求点P到椭圆的右焦点的距离.【导学号：24830054】【解】椭圆1中，a225，b216，则a5，c3，故离心率为e.由圆锥曲线的性质得点P到椭圆的左焦点的距离为e，再根据椭圆的定义得，P到右焦点的距离为2a10.探究共研型利用圆锥曲线的定义求最值探究1根据椭圆(双曲线)的共同性质，椭圆(双曲线)上一点P到其焦点F的距离PF，与点P到对应准线的距离d有什么关系？【提示】e，即PFde(e为椭圆或双曲线的离心率).探究2设椭圆1内一点A(1,1)，P为椭圆上一点，过P作椭圆的准线x4的垂线，垂足为D，则PAPD的最小值是什么？【提示】过A作直线x4的垂线交椭圆于P，垂足为D，则PAPD最小，最小值为AD413.探究3设椭圆1外一点M(1,3)，F为其右焦点，P为椭圆上一点，P到椭圆的准线x4的距离为PD，则PAPD的最小值是什么？【提示】易知椭圆的离心率是e，由，得PFPD，故PAPDPAPFAF3.即PAPD的最小值是3.已知椭圆1内有一点M(1,2)，F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，在椭圆上求一点P，使得MP3PF的值最小.【精彩点拨】因为椭圆离心率为，(d为P到相应准线的距离)，3PFd，将MP3PF转化为MPd.【自主解答】设P点坐标为(x0，y0)，P到F对应准线的距离为d，由方程知a29，a3，b28，c21，e，3PFd，MP3PFMPd.当MP与准线l垂直时MPd最小.此时P点的横坐标为x01，将x01代入椭圆方程1，得y0.P点坐标为，最小距离为2927.即MP3PF的最小值为7.求距离和的最小值的关键在于把折线变成直线，此过程需借助于圆锥曲线的统一定义进行等价转化，体现了数形结合与等价转化的数学思想.再练一题3.如图251所示，已知F是双曲线1的左焦点，定点A的坐标为(3,1)，P是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为多少？图251【解】由1知a2，c4，e2.设点M是点P在左准线上的射影.则PM是P到左准线x1的距离，则2.所以PFPM，所以PFPAPMPA.显然当A，P，M三点共线时，PFPA的值最小，即PFPA的最小值为点A到双曲线左准线的距离：334.故PFPA的最小值为4.1.椭圆1的准线方程是_.【解析】由方程可知a23，b22，c21，c1，则准线方程为x3.【答案】x32.双曲线y2x24的准线方程是_.【解析】把双曲线方程化为1，a24，b24，c28，即c2，故准线方程是x.【答案】x3.若椭圆的焦点坐标为(1,0)，准线方程是x12，则该椭圆的方程是_.【解析】易知椭圆的焦点在x轴上，且c1，故准线方程是xa212，则b2a2c211，故椭圆方程是1.【答案】14.椭圆1上一点P到其焦点的距离为2，则点P到对应的准线的距离为_.【解析】由题意知a2，c1，e，所以p到准线的距离为24.【答案】45.椭圆1上有一点P，它到椭圆的左准线的距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离.【导学号：24830055】【解析】椭圆1中，a2100，b236，则a10，c8，故离心率为e.根据圆锥曲线的统一定义得，点P到椭圆的左焦点的距离为10e8.再根据椭圆的定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20812.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十二)圆锥曲线的共同性质(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.双曲线y21的右准线方程是_.【解析】由方程可知a22，b21，c23，即c.故双曲线的右准线方程是x.【答案】x2.已知椭圆的离心率为，准线方程为x4，则椭圆的长轴长为_.【解析】由，4，得a42，故长轴长为2a4.【答案】43.方程x2y20表示的曲线为_，焦点为_，准线方程为_.【解析】化方程为标准形式y2x，表示焦点在x正半轴上的抛物线，焦点坐标为，准线x.【答案】抛物线x4.已知椭圆的两条准线方程为y9，离心率为，则此椭圆的标准方程为_. 【导学号：24830056】【解析】由题意得从而b2a2c2918，椭圆的焦点在y轴上，所求方程为1.【答案】15.已知椭圆两准线间的距离为8，虚轴长为2，焦点在x轴上，则此椭圆标准方程为_.【解析】依题得：4，a24c.又2b2，b，b23.b2c24c，c24c30，(c3)(c1)0，c3或c1.当c3时，a212.椭圆方程为1.当c1时，a24，椭圆方程为1.【答案】1或16.如果双曲线1上的一点P到左焦点的距离是10，那么P到右准线的距离为_.【解析】由双曲线方程知a216，b29，故c225，所以e，由双曲线定义知P到右焦点的距离为1082或18，由圆锥曲线的统一定义知，P到右准线的距离为2或18.【答案】或7.椭圆1上一点M，到焦点F(0，)的距离为2，则M到椭圆上方准线的距离是_.【解析】a216，a4，b29，b3，c27，c.e，设所求距离为d，则，d8.【答案】88.已知椭圆y21(a0)的一条准线与抛物线y210x的准线重合，则椭圆的离心率为_. 【导学号：24830057】【解析】抛物线y210x的准线方程是x.由题意知，椭圆y21的一条准线方程为x，即右准线方程为x，故，a2c，b1，c21c，解得c12，c2.当c2时，a2c5，a，e；当c时，a2c，a，e.【答案】或二、解答题9.已知椭圆1，P为椭圆上一点，F1、F2为左、右两个焦点，若PF1PF221，求点P的坐标.【解】设点P的坐标为(x，y).椭圆1，a5，b4，c3.e，准线方程为x.由圆锥曲线的统一定义知PF1ed1x5，PF2ed25x.PF1PF221，21，解得x，代入椭圆的方程得y.点P的坐标为或10.求中心在原点，长轴在x轴上，一条准线方程得x3，离心率为的椭圆方程.【解】方法一：设椭圆的方程为1(ab0).由题意得所以b2a2c2.所求椭圆的方程为1.方法二：设M为椭圆上任意一点，其坐标为(x，y).由法一知，准线x3对应的焦点为F.由圆锥曲线的统一定义得.，化简得4x29y220.所求椭圆的方程为1.能力提升1.已知点M(x，y)满足|x3|，则M点的轨迹是_.【解析】由题意得，所以M到定点(1,0)和定直线x3的距离之比为定值，M的轨迹是椭圆.【答案】椭圆2.设椭圆1(m1)上一点P到左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为_.【解析】由题意得2m31，m2，故椭圆的方程是1，该椭圆的离心率是，设点P到右准线的距离等于d，由圆锥曲线的统一定义得，d2，即点P到右准线的距离等于2.【答案】23.设椭圆C：1(ab0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值为_.【解析】A(1,2)在椭圆上，1，b2，则中心到准线距离的平方为2.令a25t0，f(t)t994.当且仅当t时取“”，2，min2.【答案】24.已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆1内的两个点，M是椭圆上的动点.(1)