2019版高考数学第8章立体几何6第6讲空间向量及其运算教案.docx

第6讲空间向量及其运算1空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在唯一的实数，使得ab(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc其中a，b，c叫做空间的一个基底2两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b通常规定0a，b若a，b，则称向量a，b互相垂直，记作ab.(2)两向量的数量积两个非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b(3)向量的数量积的性质ae|a|cosa，e(其中e为单位向量)；abab0；|a|2aaa2；|ab|a|b|.(4)向量的数量积满足如下运算律(a)b(ab)；abba(交换律)；a(bc)abac(分配律)3空间向量的坐标运算(1)设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3，aba1b1a2b2a3b30，aba1b1，a2b2，a3b3(R)，cosa，b .(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)4直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个(2)平面的法向量定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量确定：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为5空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm0 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量()(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()(6)若A、B、C、D是空间任意四点，则有0.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6) 在空间直角坐标系中，已知A(1，2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|PA|PB|，则P点坐标为()A(3，0，0)B(0，3，0)C(0，0，3)D(0，0，3)解析：选C.设P(0，0，z)，则有，解得z3. (教材习题改编)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcB.abcCabcD.abc解析：选A.由题意，根据向量运算的几何运算法则，()c(ba)abc. (教材习题改编)已知a(2，4，x)，b(2，y，2)，若|a|6，且ab，则xy的值为_解析：因为a(2，4，x)，|a|6，则x4，又b(2，y，2)，ab，当x4时，y3，xy1.当x4时，y1，xy3.答案：1或3 若平面的一个法向量为u1(3，y，2)，平面的一个法向量为u2(6，2，z)，且，则yz_解析：因为，所以u1u2，所以，所以y1，z4，所以yz3.答案：3空间向量的线性运算 典例引领 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点(1)化简_(2)用，表示，则_【解析】(1)().(2)因为()所以().【答案】(1)(2)若本例条件不变，结论改为：设E是棱DD1上的点，且，若xyz，试求x，y，z的值解：()，由条件知，x，y，z.用已知向量表示某一向量的方法 通关练习1在空间四边形ABCD中，若(3，5，2)，(7，1，4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为()A(2，3，3)B(2，3，3)C(5，2，1)D(5，2，1)解析：选B.因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，O为坐标原点，所以，()，()所以()()()(3，5，2)(7，1，4)(4，6，6)(2，3，3)2.在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量，表示(1)；(2).解：(1)()().(2).共线、共面向量定理的应用 典例引领 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.【证明】(1)连接BG(图略)，则()，由共面向量定理的推论知，E，F，G，H四点共面(2)因为()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(1)证明空间三点P、A、B共线的方法(R)；对空间任一点O，t(tR)；对空间任一点O，xy(xy1)(2)证明空间四点P、M、A、B共面的方法xy；对空间任一点O，xy；对空间任一点O，xyz(xyz1)；(或或) 通关练习1已知a(1，0，2)，b(6，21，2)，若ab，则与的值可以是()A2，B，C3，2D2，2解析：选A.因为ab，所以bka，即(6，21，2)k(1，0，2)，所以解得或2已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足()(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解：(1)由题知3，所以()()，即，所以，共面(2)由(1)知，共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内空间向量的数量积典例引领 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.(1)求的长；(2)求与夹角的余弦值【解】(1)记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，所以abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，所以|，即AC1的长为.(2)bca，ab，所以|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1，所以cos，.即与夹角的余弦值为.(1)空间向量数量积计算的两种方法基向量法：ab|a|b|cosa，b坐标法：设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2.(2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题a0，b0，abab0.|a|.cosa，b. 通关练习1已知a(2，1，3)，b(1，2，1)，若a(ab)，则实数的值为()A2BC.D2解析：选D.由题意知a(ab)0，即a2ab0，所以1470，解得2.2已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)设a，b.(1)求a和b夹角的余弦值；(2)设|c|3，c，求c的坐标解：(1)因为(1，1，0)，(1，0，2)，所以ab1001，|a|，|b|，所以cosa，b.(2)(2，1，2)设c(x，y，z)，因为|c|3，c，所以3，存在实数使得c，即联立解得或所以c(2，1，2)或c(2，1，2)利用空间向量证明平行和垂直(高频考点)空间几何中的平行与垂直问题是高考试题中的热点问题考查形式灵活多样，可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，是高考中的重要得分点高考对空间向量解决此类问题常有以下两个命题角度：(1)证明平行问题；(2)证明垂直问题 典例引领角度一证明平行问题 如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：(1)PB平面EFG.(2)平面EFG平面PBC.【证明】(1)因为平面PAD平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)法一：(0，1，0)，(1，2，1)，设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则n(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，因为(2，0，2)，所以n0，所以n，因为PB平面EFG，所以PB平面EFG.法二：(2，0，2)，(0，1，0)，(1，1，1)设st，即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，所以解得st2.所以22，又因为与不共线，所以，与共面因为PB平面EFG，所以PB平面EFG.(2)因为(0，1，0)，(0，2，0)，所以2，所以BCEF.又因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，同理可证GFPC，从而得出GF平面PBC.又EFGFF，EF平面EFG，GF平面EFG，所以平面EFG平面PBC.角度二证明垂直问题 如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.【证明】(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，P(0，0，4)于是(0，3，4)，(8，0，0)，所以(0，3，4)(8，0，0)0，所以，即APBC.(2)由(1)知AP5，又AM3，且点M在线段AP上，所以，又(4，5，0)，所以，则(0，3，4)0，所以，即APBM，又根据(1)的结论知APBC，所以AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BMC.(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系；建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系；根据运算结果解释相关问题(2)空间线面位置关系的坐标表示设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，平面，的法向量分别为u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4) 线线平行lmabakba1ka2，b1kb2，c1kc2.线线垂直lmabab0a1a2b1b2c1c20.线面平行(l)lauau0a1a3b1b3c1c30.线面垂直lauakua1ka3，b1kb3，c1kc3.面面平行uvukva3ka4，b3kb4，c3kc4.面面垂直uvuv0a3a4b3b4c3c40.通关练习1.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定解析：选B.因为正方体棱长为a，A1MAN，所以，所以()().又因为CD是平面B1BCC1的法向量，且0，所以，又MN平面B1BCC1，所以MN平面B1BCC1.2在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，且AB1MN，则的值为_解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，因为底面边长为1，侧棱长为2，则A，B1(，0，2)，C，C1，M(0，0，0)，设N，因为，所以N，所以，.又因为AB1MN，所以0.所以0，所以15.答案：153在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由解：(1)证明：由题意知，DA，DC，DP两两垂直如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F.，(0，a，0)因为0，所以，从而得EFCD.(2)假设存在满足条件的点G，设G(x，0，z)，则，若使GF平面PCB，则由(a，0，0)a0，得x；由(0，a，a)a0，得z0.所以G点坐标为，故存在满足条件的点G，且点G为AD的中点 建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上 利用空间向量坐标运算求解问题的方法用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化 易错防范(1)注意向量夹角与两直线夹角的区别(2)共线向量定理中ab存在唯一的实数R，使ab易忽视b0.(3)在利用xy证明MN平面ABC时，必须说明M点或N点不在面ABC内(因为式只表示与，共面)(4)找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角(5)ab0不等价为a，b为锐角，因为a，b可能为0. 1.已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示，则等于()A.(bca) B.(abc)C.(abc) D.(cab)解析：选D.(cab)2已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)，若a、b、c三向量共面，则实数等于()A.B9C.D.解析：选D.由题意知存在实数x，y使得cxayb，即(7，5，)x(2，1，3)y(1，4，2)，由此得方程组解得x，y，所以.3已知A(1，0，0)，B(0，1，1)，O为坐标原点，与的夹角为120，则的值为()AB.CD解析：选C.(1，)，cos 120，得.经检验不合题意，舍去，所以.4已知四边形ABCD满足：0，0，0，0，则该四边形为()A平行四边形B梯形C长方形D空间四边形解析：选D.由0，0，0，0，知该四边形一定不是平面图形5(2018唐山统考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且1，N为B1B的中点，则|为()A.aB.aC.aD.a解析：选A.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，因为点M在AC1上且，所以(xa，y，z)(x，ay，az)，所以xa，y，z.所以M，所以|a.6已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且a，b，c，用a、b、c表示向量_解析：如图所示，()()()(2)()(bca)答案：(bca)7.如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为_解析：设a，b，c，由已知条件a，ba，c，且|b|c|，a(cb)acab|a|c|a|b|0，所以，所以cos，0.答案：08已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_解析：因为0，0，所以ABAP，ADAP，则正确又与不平行，所以是平面ABCD的法向量，则正确因为(2，3，4)，(1，2，1)，所以与不平行，故错答案：9已知a(1，3，2)，b(2，1，1)，点A(3，1，4)，B(2，2，2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？(O为原点)解：(1)2ab(2，6，4)(2，1，1)(0，5，5)，故|2ab|5.(2)令t(tR)，所以t(3，1，4)t(1，1，2)(3t，1t，42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t.所以3t，1t，42t，因此存在点E，使得b，此时E点的坐标为(，)10已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；(2)若|a|，且a分别与，垂直，求向量a的坐标解：(1)由题意可得：(2，1，3)，(1，3，2)，所以cos，.所以sin，所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为S2|sin，147.(2)设a(x，y，z)，由题意得解得或所以向量a的坐标为(1，1，1)或(1，1，1)1如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则M点的坐标为()A(1，1，1) B.C. D.解析：选C.设M点的坐标为(x，y，1)，因为ACBDO，所以O，又E(0，0，1)，A(，0)，所以，(x，y，1)，因为AM平面BDE，所以，所以所以M点的坐标为.2已知ABCDA1B1C1D1为正方体，给出下列四个命题：()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|.其中正确命题的序号是_解析：中()222232，故正确；中，因为AB1A1C，故正确；中A1B与AD1两异面直线所成角为60，但与的夹角为120，故不正确；中|