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第 二 章 简单的优化模型,简单的优化模型是指无约束条件的极值问题，可归结为微积分中的函数极值问题，直接用微分法求解。,1 最优价格 2 森林救火,一 最优价格,问题,根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大,假设,1）产量等于销量，记作 x,2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格,3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本,4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数,建模与求解,收入,支出,利润,进一步设,求p使U(p)最大,使利润 U(p)最大的最优价格 p*满足,最大利润在边际收入等于边际支出时达到,建模与求解,结果解释,q / 2 成本的一半,b 价格上升1单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度）,a 绝对需求( p很小时的需求),b p*,a p* ,思考：如何得到参数a, b?,二 森林救火,森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。,问题分析,问题,记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).,损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定.,救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.,存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小,关键是对B(t)作出合理的简化假设.,问题分析,失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形,分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.,模型假设,3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费),1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度）,2）t1tt2, 降为 - x (为队员的平均灭火速度）,4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3,假设1）的解释,火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比,模型建立,目标函数总费用,模型建立,目标函数总费用,模型求解,求 x使 C(x)最小,结果解释, / 是火势不继续蔓延的最少队员数,其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数,模型应用,c1,c2,c3已知, t1可估计,c2 x,c1, t1, x,c3 , x ,结果解释,c1烧毁单位面积损失费, c2每个队员单位时间灭火费, c3每个队员一次性费用, t1
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