05第五节数学建模——最优化.doc

第五节 数学建模最优化在实际应用中，常常会遇到最大值和最小值的问题如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等此类问题在数学上往往可归纳为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题分布图示 最大值最小值的求法例1例2 例3例4例5 例6 例7 对抛射体运动建模 例8例9 在经济学中的应用 例10 例11例12 例13 例14例15 例16 内容小结课堂练习 习题3-5 返回内容要点 一、求函数的最大值与最小值 在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题. 如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等. 此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.求函数在上的最大（小）值的步骤如下：（1）计算函数在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（2） 对于闭区间上的连续函数，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.二、对抛射体运动建模三、光的折射原理 四、在经济学中的应用例题选讲例1 (E01) 求的在上的最大值与最小值.解 解方程得计算 比较得最大值最小值例2 求函数在上的最大值及最小值.解 函数在上连续,令得 故在 上最大值为最小值为例3 (E02) 设工厂A到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B. 铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C, 如图3-5-4. 现在要在铁路BC中间某处D修建一个原料中转车站, 再由车站D向工厂修一条公路. 如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D应选在何处, 才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?解 (km), (km), 铁路每公里运费公路每公里记那里目标函数(总运费)的函数关系式:即 问题归结为：取何值时目标函数最小. 求导得令得(km).由于从而当(km)时，总运费最省.例4(E03) 某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?解 设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为解得(唯一驻点).故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为 (元).求函数的最大值最小值例5 求内接于椭圆而面积最大的矩形的各边之长.解 设为椭圆上第一象限内任意一点，则以点为一顶点的内接矩形的面积为且由 求得驻点为唯一的极值可疑点. 依题意, 存在最大值,故是的最大值,最大值对应的值为 即当矩形的边长分别为时面积最大.例6 由直线及抛物线围成一个曲边三角形, 在曲边上求一点, 使曲线在该点处的切线与直线及所围成三角形面积最大.解 根据几何分析, 所求三角形面积为由解得(舍去).为极大值.故三角形为所有中面积的最大者.例7 求数列的最大项(已知).解 令则由得唯一驻点当时, 当时, 所以当时, 时, 函数取得极大值 ,由于又因此当时, 得数列的最大项例8 (E04) 在地面上以400m/s的初速度和的抛射角发射一个抛射体. 求发射10秒后抛射体的位置.解 由m/s，则即发射10秒后抛射体离开发射点的水平距离为2000米，在空中的高度为2974米.虽然由参数方程确定的运动轨迹能够解决理想抛射体的大部分问题. 但是有时我们还需要知道关于它的飞行时间、射程（即从发射点到水平地面的碰撞点的距离）和最大高度.由抛射体在时刻的竖直位置解出.，因为抛射体在时刻发射，故必然是抛射体碰到地面的时刻. 此时抛射体的水平距离，即射程为 .当时即时射程最大.抛射体在它的竖直速度为零时，即从而 ，故最大高度. 根据以上分析，不难求得例中的抛射体的飞行时间、射程和最大高度： 飞行时间（秒） 射程（米） 最大高度 （米）例9(E05) 在1992年巴塞罗那夏季奥运会开幕式上的奥运火炬是由射箭铜牌获得者安东尼奥雷波罗用一枝燃烧的箭点燃的,奥运火炬位于高约21米的火炬台顶端的圆盘中,假定雷波罗在地面以上2米距火炬台顶端圆盘约70米处的位置射出火箭,若火箭恰好在达到其最大飞行高度1秒后落入火炬圆盘中,试确定火箭的发射角和初速度.(假定火箭射出后在空中的运动过程中受到的阻力为零,且0.725)解 建立如图所示坐标系, 设火箭被射向空中的初速度为米/秒,即,则火箭在空中运动秒后的位移方程为=. 火箭在其速度的竖直分量为零时达到最高点,故有 ,于是可得出当火箭达到最高点1秒后的时刻其水平位移和竖直位移分别为解得：, 从而又 (米/秒)所以,火箭的发射角和初速度分别约为和米/秒.例10(E06) 设每月产量为x吨时, 总成本函数为(元)，求最低平均成本和相应产量的边际成本.解 又故是的极小值点，也是最低平均成本为(元).边际成本函数为故当产量为140吨时，边际成本为(元).例11(E07) 某人利用原材料每天要制作5个贮藏橱. 假设外来木材的运送成本为6000元，而贮存每个单位材料的成本为8元. 为使他在两次运送期间的制作周期内平均每天的成本最小，每次他应该订多少原材料以及多长时间订一次货？解 设每天订一次货，那么在运送周期内必须订单位材料. 而平均贮存量大约为运送数量的一半，即. 因此 每个周期的成本=运送成本+贮存成本=平均成本，由解方程，得驻点，（舍去）.因 ，则 ，所以在天处取得最小值.贮藏橱制作者应该安排每隔17天运送外来木材单位材料.例12（E08） 某计算器零售商店每年销售360台计算器. 库存一台计算器一年的费用是8元. 为再订购，需付10元的固定成本，以及每台计算器另加8元. 为最小化存贷成本，商店每年应订购计算器几次？每次批量是多少？解 设表示批量.存货成本表示为(年度持产成本) + (年度再订购成本).我们分别讨论年度持产成本和年度再订购成本. 现有平均存货量是,并且每台库存花费10元. 因而 已知表示批量.又假定每年再订购次.于是 因而 年度再订购成本 = (每次订购成本) (再订购次数)因此令解得驻点又 因为在区间1,360内只有一个驻点,即所以在处有最小值. 因此,为了最小化存货成本,商店应每年订货（次）.例13（E09） 再讨论例12, 除了把存货成本8元改为9元, 采用例3给出的所有数据.为使存货成本最小化, 商店应按多大的批量再订购计算器且每年应订购几次?解 把这个例子与例6作比较,求其存货成本,它变成 然后求令它等于0来求解 因为每次再订购28.2台没有意义,考虑与28.2最接近的两个整数,它们是28和29.现在有元和 元.由此可得,最小化存货成本的批量是28, 尽管相差0.07元并不重要.(注意:这一步骤不是对所有类型的函数都能行得通,但是对于这里正在讨论的函数是可行的.)应再订购的次数是所以仍然涉及某个近似值.例14（E10）某服装有限公司确定，为卖出套服装, 其单价应为. 同时还确定，生产套服装的总成本可表示成.(1) 求总收入(2) 求总利润(3) 为使利润最大化,公司必须生产并销售多少套服装?(4) 最大利润是多少?(5) 为实现这一最大利润, 其服装的单价应定为多少?解 （1）总收入 （2）总利润（3）为求的最大值, 先求解方程，得注意到, 因为只有一个驻点,所以是最大值.（4） 最大利润是 （元）由此公司必须生产并销售100套服装来实现3500元的最大利润.（5） 实现最大利润所需单价是 （元）.例15（E11）某大学正试图为足球票定价. 如果每张票价为6元，则平均每场比赛有70000名观众. 每提高1元，就要从平均人数中失去10000名观众. 每名观众在让价上平均花费1.5元. 为使收入最大化，每张票应定价多少？按该票定价，将有多少名观众观看比赛？解 设每张票应提价的金额 (如果是负值, 则票价下跌) . 首先把总收入表示成的函数. .为求使最大的先求 解方程，得 元.注意到，因为这是唯一的驻点,所以是最大值.因此,为使收入最大化, 足球票定价为 元.也就是说，下调后的票价将吸引更多的观众去看球赛，其人数是 这将带来最大的收入.例16（E12） 录像带商店设计出一个关于其录像带租金的需求函数，并把它表示为 其中是当每盒租金是元时每天出租录像带的数量. 求解下列各题：（1） 求当元和元时的弹性，并说明其经济意义.（2） 求时的值，并说明其经济意义.（3） 求总收益最大时的价格. 解 （1）首先求出需求弹性 当元，有. ，表明出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率小于1. 价格的小幅度增加所引起出租数量百分比的减少小于价格改变量的百分比.当元，有. ，表明出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率大于1. 价格的小幅度增加所引起出租数量百分比的减少大于价格改变量的百分比.（2）令，即因此，当每盒租金是3元时，出租数量改变量的百分