概率论与数理统计第一章.ppt

第一讲 概率论的基本概念,一、前言 在丰富多彩的世界中，存在着两类基本现象： 有一类现象，在一定条件下必然发生并且可精确预测其结果，我们称之为必然现象。 例1：H2+O2 H2O,点燃,例2：树上的苹果落到了地上。,例3：在标准大气压的下，将水烧至100会沸腾。,另一类现象也广泛存在：,例4：参加某保险公司的保险的人在一年内是否死亡。,例5：向一目标射击是否命中目标。,例6：从一批产品中，随机地抽检一件产品，该产品是否是合格品。,例7：掷骰子时出现的点数。,以上现象称之为随机现象，其特点是： 在一定条件下会出现不确定的结果，而在大量重复试验中，结果会呈现某种规律性。那么如何研究这种规律性呢？下面我们举两个经典的例子来说明。,例8：将一枚质量均匀的硬币抛掷 N 次，观察正面出现的次数n及频率n/N:,N n n/N,18世纪 法国人 Buffon 4040 2048 0.5069 20世纪 英国人 K.Pearson 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005,此例表明不同时代、不同国籍、不同人做同样大量的投掷硬币的随机实验,出现正面的频率具有稳定性和统计规律性.同时也说明客观实在的随机现象的统计规律并不随时间、地点、人物的变化而变化, 它具有可重复性的一般规律的特点。,例9 L.Brillouin, Science and Information Theroy, New York 1956 。 上面这本书中讨论与研究了英语的26 个字母出现的频率, 其中E出现的频率为 0.105, 空格出现的频率为0.205,那么这个例子对计算机的键盘的设计,密码的破译,信息的处理具有重要的意义。,概率论:它是研究随机现象统计规律性的一个数学分支。,二、 随机试验,对某事物特征进行观察, 统称试验.,若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示,可在相同的条件下重复进行 试验结果不止一个,但能明确所有的结果 试验前不能预知出现哪种结果,例如，从一批产品中抽检100件产品的质量是否合格。,样本空间：随机试验E 所有可能的结果组成的集合称为样本空间，记为s 或 。,基本事件：随机试验的每一个可能结果。简记为e 或，亦称样本点。,随机事件：样本空间的子集,即满足某些条件的样本点所组成的集合，记为 A ,B ,。,样本点e,A,E1: 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数,E2:观察总机每天9:00至10:00接到的电话次数,E3:观察某地区每天的最高温度与最低温度,其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度。,例1 给出一组随机试验及相应的样本空间,S1= 0,1,2,3 ,S2= 0,1,2,3, N ,随机事件是样本点所组成的集合，当组成随机事件的一个样本点发生时，称该事件发生。,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 。,S= 1,2,3,4,5,6 ,事件 B = 掷出奇数点 ,则当掷出1点、3点或5点时，我们称事件B 发生。,两个特殊的事件：,必,件,然,事,例如，在掷骰子试验中， “掷出点数小于7”是必然事件;,即在试验中必定发生的事件，常用S或表示;,不,件,可,事,能,即在一次试验中不可能发生的事件， 常用表示 .,而“掷出点数8”则是不可能事件.,三、事件间的关系及其运算,1、事件的包含,如果事件A发生必然导致事件B发生, 即属于A的每一个样本点都属于B, 则称事件B包含事件A，或称 A 是B的子事件。记作,B A或 A B,A,B,s,2、事件的相等,如果事件 A 包含事件 B, 事件 B 也包含事件A,则称事件A与B相等.,记作,A = B,即 B A 且 A B,3、事件的和(并),两个事件A, B 中至少有一个发生, 这样的事件称为事件A与B的和，记AB或,A+B，即,称为n个事件A1An的和事件。,4、事件的积(交),两个事件A与B同时发生, , 这样的事件称为事件A与B的积，记 AB或 AB，即,称为n个事件A1An,的积事件。,5、事件的差,事件A发生而事件B不发生, 这样的事件, 称为事件A与B的差，记作 AB 即,6、事件的互不相容 (互斥),如果事件A与B不能同时发生, 即AB=, 称事件A与B互不相容(或称互斥).显然, 基本事件间是互不相容的.,若一组事件A1，An中任意两个事件都互不相容，则称这n个事件A1，An两两互不相容。,7、对立事件 （逆事件）,则称事件A与B互为对立事件或 A 与 B,互为逆事件。,显然,A的对立事件记为,注：互不相容与相互对立的区别,1 若A与B相互对立,则A与B互不相容，反之不一定成立,2 互不相容的概念适用于多个事件，而相互对立的概念只适用于两个事件。,3 A与B互不相容表示A与B中最多只有一个事件发生，而A与B相互对立表示A与B中有且仅有一个事件发生。,吸收律,幂等律,差化积,交换律,结合律,分配律,德摩根律,语言表述：事件和的对立事件等于对立事件的积，事件积的对立事件等于对立事件的和。,B,C,A,C,分配律 图 示,A,例1,从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回), 事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3). 试用事件的运算符号表示下列事件:,（1）三次都取到了合格品; （2）三次中，第一次取到合格品，后两次取到次品; （3）三次中恰有两次取到合格品; （4）三次中至少有两次取到合格品； （5）三次中最多有两次取到合格品.,解：,（1）A1 A2 A3,（5）,例2,如图，线路ab由元件1,2,3组成,设事件 Ai 表示第 i 个元件正常工作,( i = 1,2,3 )事件B表示线路ab畅通，试用事件Ai表示事件B。,解：,B = A1 ( A2 A3 ),或 A1 A2 A1 A3 A2 A3,例3 某射手向一目标进行三次射击，令 Ai : “第i次射击命中目标”，i=1,2,3, Bj : “在三次射击中命中j次”j =0,1,2,3, 试用Ai(i=1,2,3)及对立事件表示,解：,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,事件的概率,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,四、频率与概率,定义：在相同的条件下，进行了 n 次试验，在 这n 次试验中，事件A发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数,比值 nA/n 称为事件 A 发生的频率,记为 fn(A)。,频率的性质：,1 非负性,2 规范性,3 有限可加性 若 A1 Ak 两两互不相容，则,1、频率,当 n 较小时，事件发生的频率呈波动性；当 n 较大时，事件发生的频率呈稳定性。,以掷硬币为例，当n不断增大时，事件发生的频率会逐渐稳定在常数0.5附近，这就是频率的稳定性。这种频率的稳定性即我们所要研究的随机现象的统计规律性。,随机事件A发生的可能性大小的度量（数值）称为A发生的概率，记为P(A)。,概率的统计定义：,若随着试验次数 n 的增大，,事件A发生的频率 fn(A)在0，1上的某个数字 p 附近摆动，则 P(A) = p 。,2、 概率的公理化定义,公理1 对于任一事件A，有,公理2,公理3 当可列个事件A1, A2,两两互不相容时，,有,定义: 设 S 是随机试验E 的样本空间，对于E 的每一事件 A 赋于一个实数，记为P ( A ), 若函 数P( )满足公理1、2、3，则称P ( A )为事件 A 的概率。,3、概率的性质,（1）若n个事件A1, An两两互不相容，则,由概率的公理化定义可推得,（2）设事件,证：,（3）对于任一事件A，有 P (A) = 1 P ( A ),证：,（4）对于任意两个事件 A、B，有,证：,1=,加法公式可推广，如,稍事休息,作业,2(7)(8), 3(1),(2)求 4（2）.,预习,第一章 4 5,P25,历史简述: 现代概率论起源于十七世纪数学家对赌博问题的研究,主要归功于Pascal 与Fermat两位数学家。历史上曾有一个叫贡博的赌徒提出了一个有意思的Mere问题: 掷一枚骰子4次, 至少出现一个6点的可能性很大(0.52);若掷一对骰子24次,至少出现一双6点的可能性也很大(0.49),这导致矛盾。此赌徒宣称:24次是4次的6倍,那么后者的可能性应当比前者可能性大,但事实却相反。于是他认为数学是自相矛盾的!,当时的Pascal和Fermat两位数学家通过通信联系并且讨论了大量公平赌博的例子, 从中归纳出了今天我们熟知的排列与组合的新知识。,十九世纪初,雅克.伯努里和拉普拉斯给出古典概率的定义, 二十世纪三十年Kolmogrov 利