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文档简介
三次样条插值实验报告专业 班级 学号 姓名 一、 实验内容和要求1、阅读上面的文字和程序,试运行,检验程序和上面叙述的正确性。2、阅读上面的 MATLAB 程序;查资料,了解各 MATLAB 语句及命令。3、画程序流程图,理解并描述算法。4、修改上面的程序,能根据给定数据点,求(1)自然样条插值,边界 Sa=0, Sb=0= =(2)第二类边界条件,Sa和Sb是确定的。5、使用上面的程序,根据数据点(0,1),(1,0),(2,0),(3,1),(4,2),(5,2),和(6,1),求三种不同的三次样条插值,其中S0=-0.6,S6=-1.8,S0=1,S6=-1;S0,S6=0.在同一坐标系中,画出这 3 个三次样条插值和这些数据点。6、写实验报告(实验内容+算法描述+程序+写成分段函数的结果描述+截图)。二、 算法说明定义:设有N+1个点 ,其中 。如果存在N个三次多项式 ,系数为 ,满足如下性质: (1) (2) (3) 则称函数 为三次样条函数。 因为 是分段三次多项式,所以 在区间 上是分段线性的。 (1) 用 代入上式,可得 (2)将(2)式积分两次,会引入两个积分常数,并得到 (3) 将 代入上(3),并使用 ,可分别得到包含 的方程: (4)求解这两个方程,求出 ,而且将这些值代入方程(3)中,可得到三次多项式方程: (5) 表达式5可以简化成只包含未知系数 的形式。为求这些值,必须使用(5)式的导数,即 (6)在 处计算(6),并简化结果可得到 ,其中 (7) 同理,在式(6)中用 并计算在 处的解,可得 (8)利用节点处一阶导函数连续及方程(6)、(7),可得到包含 的重要关系式 (9) 其中方程组(9)中的未知数是要求的值 ,其他的项可通过数据点集 进行简单的计算得到的常量。因此方程(9)是包含N+1个未知数,具有N-1个线性方程的不定方程组。所以需要另外两个方程组才能求解,即边界条件。如果已知 ,则(10) (11)根据(9)(10)求出 后,可利用下面的公式计算 的样条系数 。 ,三、 源程序csfit1:第一类边界条件function S=csfit1(X,Y,dx0,dxn)N=length(X)-1;H=diff(X);D=diff(Y)./H;A=H(2:N-1);B=2*(H(1:N-1)+H(2:N);C=H(2:N);C=H(2:N);U=6*diff(D);B(1)=B(1)-H(1)/2;U(1)=U(1)-3*(D(1)-dx0);B(N-1)=B(N-1)-H(N)/2;U(N-1)=U(N-1)-3*(dxn-D(N);for k=2:N-1temp=A(k-1)/B(k-1);B(k)=B(k)-temp*C(k-1);U(k)=U(k)-temp*U(k-1);EndM(N)=U(N-1)/B(N-1);for k=N-2:-1:1M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2)/B(k);EndM(1)=3*(D(1)-dx0)/H(1)-M(2)/2;M(N+1)=3*(dxn-D(N)/H(N)-M(N)/2;for k=0:N-1S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1)/(6*H(k+1);S(k+1,2)=M(k+1)/2;S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2)/6;S(k+1,4)=Y(k+1);endcsfit2:第二类边界条件function S=csfit2(X,Y,dx0,dxn)N=length(X)-1;H=diff(X);D=diff(Y)./H;A=H(2:N-1);B=2*(H(1:N-1)+H(2:N);C=H(2:N);C=H(2:N);U=6*diff(D);U(1)=U(1)-dx0;U(N-1)=U(N-1)-dxn;for k=2:N-1temp=A(k-1)/B(k-1);B(k)=B(k)-temp*C(k-1);U(k)=U(k)-temp*U(k-1);EndM(N)=U(N-1)/B(N-1);for k=N-2:-1:1M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2)/B(k);EndM(1)=dx0;M(N+1)=dxn;for k=0:N-1S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1)/(6*H(k+1);S(k+1,2)=M(k+1)/2;S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2)/6;S(k+1,4)=Y(k+1);end画图:x1=0:.01:1;y1=polyval(S1(1,:),x1-X(1);x2=1:.01:2;y2=polyval(S1(2,:),x2-X(2);x3=2:.01:3;y3=polyval(S1(3,:),x3-X(3);x4=3:.01:4;y4=polyval(S1(4,:),x4-X(4);x5=4:.01:5;y5=polyval(S1(5,:),x5-X(5);x6=5:.01:6;y6=polyval(S1(6,:),x6-X(6); plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,X,Y,.) hold on x1=0:.01:1;y1=polyval(S2(1,:),x1-X(1);x2=1:.01:2;y2=polyval(S2(2,:),x2-X(2);x3=2:.01:3;y3=polyval(S2(3,:),x3-X(3);x4=3:.01:4;y4=polyval(S2(4,:),x4-X(4);x5=4:.01:5;y5=polyval(S2(5,:),x5-X(5);x6=5:.01:6;y6=polyval(S2(6,:),x6-X(6); plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,X,Y,.) hold on x1=0:.01:1;y1=polyval(S3(1,:),x1-X(1);x2=1:.01:2;y2=polyval(S3(2,:),x2-X(2);x3=2:.01:3;y3=polyval(S3(3,:),x3-X(3);x4=3:.01:4;y4=polyval(S3(4,:),x4-X(4);x5=4:.01:5;y5=polyval(S3(5,:),x5-X(5);x6=5:.01:6;y6=polyval(S3(6,
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