《概率论与数理统计》项目高尔顿钉板的证明与进一步探究研究报告.doc

大连东软信息学院 2012 -2013 学年第 1 学期概率论与数理统计课程（单元）项目研究报告系别计算机科学与技术（网络系统开发方向）班级计网络11001平均成绩小组成员学号姓名学号姓名1111120010311111200123111112001041111120010511111200106项目名称 通过程序实践进一步探究高尔顿钉板与二项分布关系【项目内容】引言：高尔顿钉板与二项分布 高尔顿钉板问题：高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子下好对准上面一排两上相邻铁钉的正中央。从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁休。如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内。在等可能性下，小球落下后满足正态分布。 探究问题，当以不同的概率向左右偏转时对整个分布的影响（通过程序实验进行实践），首先进行等可能性时理论的证明 【相关知识点】随机事件与概率-条件概率，乘法原理，离散型随机变量及其分布，高中知识-数学归纳法 【模型假设与分析】设（如图）高尔顿（钉）板有n行钉，第n行铁钉共有（n+2）个，两个铁钉之间一个空，则有（n+1）个空。把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0，1，2，n共（n+1）个空。 【模型建立】观察i=0（即第一列第一个空）这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下，即连续n次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P（i=0）=C（）n()0。观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空的概率为 P（i=1）=C（）n1()1。 【模型求解】先进行等可能性分析：猜想第i个空，小球从这个空落下的结论是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n次碰撞落下过程中，有i次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第i个空的概率为P（i）= C（）ni()i。（i=0，1，2，n）现对上猜想给出证明：an，i= P（i）= C（）ni()i。（i=0，1，2，n）规定：ai，j表示第i行第j（0jn）个空球落下的概率。由高尔顿（钉）板可知：a1，0=，a1，1=（1in1，n2）用数学归纳法证明：1 当n=1时，已如上证。当n=2时，a2，0= a1，0=（）2=C（）20()0a2，1= a1，0+ a1，1= =C（）21()1a2，2= a1，1=（）2= C()0（）20显然成立。2 假设n=k（k2）成立（即假设第n行每一个数据都成立）。即ak，i= C（）ki()i当n=k+1时，ak+1，0= ak，0= C（）k0 ()0= C（）(k+1)0 ()0ak+1，k+1= ak，k= C（）kk()k= C（）（k+1）（k+1）()k+1= C（）（k+1）（k+1）()k+1ak+1，i= ak，i-1+ ak，i= C（）k-(i-1)()i-1+ C（）k-i()i=（ C+ C）（）k+1= C（）(k+1)-i（）i在n=k成立的条件下，n=k+1也成立。 【结论及分析】当小球落下的概率左右相同时，小球的分布满足二项分布，下面通过实践进一步研究当小球落下几率不等时的分布情况 实验软件，高尔顿实验模拟器（下载）预计进行三次实验，小球数量为1000，碰撞后落到右面的几率分别为0.5，0.3, 0.7，下面是软件实验截图：概率为0.5时的分布规律(1000个小球)：概率为0.3时的分布情况(1000个小球)概率为0.7时的分布情况（1000个小球）【心得与体会】通过这个项目，我们小组进一步理解了概率论与数理统计的知识，同时也体会到到了计算机与数学密不可分的联系，也领略到了统计学的魅力，在这次实践中，充分了解到前人的智慧是我们巨大宝藏。同时项目的完成也提高了我们的小组合作能力【参考文献】【1】高等数学（上、下）-同济大学教研室第四版【2】概率论与数理统计龚晓庆 王炳兴-浙江大学