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现代教育技术与数学教育北大 北京市海淀区数学CAI课题组 王鹏远 一、背景：数学教育面临的两个课题我们正面临深刻的变革。历史上，技术从来没有象今天这样能施展它的魔力，如此迅速而广泛地改变着社会。以计算机和通讯为代表的信息技术似乎缩短了“未来”与“现实”的距离，近两年，人们突出感到了信息社会发展的急促脚步！当诸如PC机、CDROM、多媒体、网络、信息高速公路等新名词不断向人们涌来的时候，它们其实已迅速地进入到现实生活中了，而我们的思想却跟不上这些技术带来的变化。这就是撰写本文的背景。时代要求我们考虑信息技术与数学教育的关系，尽管这个课题对谁说来都是崭新的，谁都把握不准，但却迫切需要人们给予认漳回答。在某种意义上说，当前的数学教育面临着两大课题。其一是信息革命对数学与数学教育提出了哪些新的要求，或者说数学教育应该进行哪些改造才能满足信息社会的需要；其二是现代教育技术对数学教学改革能发挥哪些作用，在新技术的支持下能否创设更理想的数学教育，以克服传统教育难以解决的某些困难？对以上两个问题，广大数学教师的思想准备似乎并不充分。如今多数数学教师尚未完全摆脱对计算机的神秘感，而未来学家尼葛洛庞帝（Negroponte)的“数字化生存”却已成为“纽约时报”排行榜的畅销书，此书描绘了数字科技给我们的生活、工作、教育、娱乐带来的种种冲击和其中值得深思的问题。半个世纪前，作为人类发展史上一个重要里程碑的计算机出现了，今天由它引起的信息革命对社会正产生越来越广泛的影响。计算机革命的冲击力所以如此迅猛，是因为作为人脑的延伸，它正以惊人的速度深刻地改变着人们的工作方式、生活方式与思维方式。这是历史上的产业革命无法与之比拟的。仅仅举出下列事实就足以说明问题了。70年代，美国的未来学家针对计算机终端的普遍使用，作了一个就业展望。考察的结果令人吃惊：一半以上的职业将不复存在，其余大多数也将从根本上受到影响！这就是说现在正在为未来的就业而学习的青年人将面临一种危机，即在他们一开始走向生活时，他们原本要从事的职业可能已不复存在了。这就是我们所处的时代，一个迅速变化而充满竞争的时代。这促使人们思考以下一些重要的问题；那就是信息时代中数学与数学教育处于一个什么样的位置？考虑到计算机的发展和广泛应用，学生应该多学一些数学还是少学一些呢？信息时代的数学教育怎样才对青年人的未来发展更加有利？另一个问题是以计算机为代表的现代教育技术能对数学教育的改革注入怎样的活力。数学教育需要技术吗？从多数老教师的眼光看，这个必要性并不迫切，对数学教学而言，广大教师习惯了的粉笔与黑板看来已经够了。事实上，如果拿今天的数学教学与五六十年前相比，教学手段没有什么大的变化。尽管近两年许多学校配备了计算机教室，但基本上没有能与数学教学相结合，计算机技术在教学中的优势还没充分地显示出来。同时，对于计算机专业人员开发的数学教学软件，教师又不怎么满意，认为对数学教学的实际意义不大，因而对计算机辅助教学的兴趣不高。那么问题到底出在哪里呢？是传统教学的习惯对技术带来的变革的阻力，还是计算机技术本身的局限？根据数学与数学教学的特点，计算机技术能在数学教育中形成哪些优势，哪些又是计算机在当前不易表现的？教育技术对数学教学的内容、方法、模式、观念将产生什么影响？教师的工作方式和思维方式会发生什么变化？这些都需要认真加以讨论。但不管怎样，有一点是肯定的。那就是我们再也不能无视技术的进步而把自己封闭起来，数学教育应该从技术的进步中获得有力的支持。我们以为，对上述两个方面的讨论有重要的意义。在当前，考虑21世纪的数学教育，上述问题显得尤为迫切。以下我们就上述两个方面谈些粗浅的看法，与大家探讨。二、计算机化还是数学化：对数学教育的影响在对“如何迎接21世纪挑战”的讨论中，计算机的重要性已经被广泛认识，人们普遍谈论着“计算机是进入21世纪的通行证”。但是数学在未来社会的重要性却没有引起足够的关注，接受“数学盲难以进入21世纪”观点的人并不多。那么未来社会的特点是“计算机化”还是“数学化”，既然计算机的功能如此强大那么是否可以少学一些数学呢？实际上，情况恰恰相反，在信息社会里，正是计算机的广泛应用，加速了现代社会的数学化进程。由于越来越多的问题需要归结或表示成为能用计算手段处理的数学问题，数学科学在社会发展中的地位空前提高了。有的专家认为，计算机作为一种功能强大的计算工具，对推动计算方法的进步有划时代的意义。计算机超乎人们想象的计算速度，使一大批原本由于手工计算的局限而难以解决的问题，一下子获得了解决。于是计算机把计算方法推向了人类科学活动的前沿，成为与实验、理论推导并列的第三种科学方法。“由计算机推动的当代计算方法的兴起，并形成与实验方法、理论方法并立之势，是伽利略、牛顿以来在科学方法论上的最大进展，推动着科研实践中一场深刻的，不可逆转的变革。” 当前，数学和计算机结合起来已经形成一种所谓的“数学技术”，在社会的经济发展中起着举足轻重的作用。在当代计算机最发达的美国，有识之士认为数学科学对保持其经济竞争力至关重要。由James G .Glimm教授主编的一份报告“数学科学技术经济竞争力”很值得一读。该报告从美国的主要工业部门对数学的依赖性，从数学在产品周期的每一个环节中扮演的角色，从数学科学对建立技术基础并产生巨大经济效益的贡献，令人信服的说明“数学科学对经济竞争力生死悠关，数学是关键的、普适的、培养能力的技术。”可见，计算机不仅没有削弱数学的作用，反而极大地增强了数学科学的地位。在某种意义上讲，是计算机的飞速发展把数学推上了从来未曾有过的重要位置,信息时代就是一个“数学化的时代”。这个时代决不是仅仅要求人们掌握电脑的简单操作，而是要求每个人比以往任何时候都更懂数学，更善于进行数学地思考。事实上，计算机并不是法力无边的，它不会自己建立数学模型，不会设计适当的算法，也不会自行编制程序软件。计算机擅长的，只是按人们编制的软件程序快速的进行数字计算和符号演算。在这个意义上容易理解数学可以帮助人更好地驾驭计算机，计算机越发展就越需要数学修养高的人。正是计算机与数学的结合才获得了广泛的成功，甚至根本改变了许多技术领域的面貌。例如，飞机的工程设计和制造工艺全靠计算机辅助设计（CAD和计算机计算机辅助制造（CAM，而这两者又都以数学为理论基础。尽管气动方程早在150年前就问世了，但直到本世纪60年代初，有了计算机以及由此兴起的有效的计算方法之后，气动方程才开始在实际中应用起来。气动计算（指在计算机上解气动方程和飞行器流场的数值模拟计算促进了飞机和导弹设计工作上的一场变革。美国波音767飞机和欧洲空中客车A310飞机的机翼设计是采用气动计算手段成功的先例。它们比以前单考实验手段设计的同类机种减少了飞行阻力，节约燃料20。以400架飞机飞行15年，每加仑汽油1? 3美元计，效益可达100亿美元。这种气动计算或称为“数值风洞”不但节约了经费还能极大地缩短设计周期。石油资源的勘探与开采对国民经济的发展起重要的作用。而油田的特征依赖于地质统计学、随机场论、信号处理、傅里叶分析以及那些用来描述地震信号的波动、弹性方程的解，以及逆问题的解。石油在油田中的流动模式是石油工程关心的中心问题，这些模式可用计算方法来研究。这些计算法主要依赖与有限元法、有限差分法、自适应网格加密法、快速傅里叶变换、自由边界问题以及并行计算等等。此外排队理论还被用来规划油罐的终点与运送。石油的精炼设计又离不开微分方程和控制论。石油的二次或三次回收开采中计算机与计算数学的应用越来越重要，美国有人估计如能提高石油10?/FONT20的回收率（指二次或三次采油，经济效益可达千亿美元，相当于发现一个北海油田。其他如天气预报、工程设计、市场预测、生产组织、经济运行、物资合理调配、人口和资源的普查、生物统计学与流行病学、乃至医学上的CT技术都广泛用到了计算机与数学。计算机快速处理大量信息的功能使诸如贸易、经济、语言、生物、医药以及社会学的诸多领域能够进行定量研究，并对信息进行逻辑分析。这一切说明计算机为数学提供了通往科学、工程技术和社会生活广泛领域的通道。计算机开辟了一个高技术时代，也开辟了一个数学化时代。在这个意义下可以说明，信息社会要求它的成员具有更自觉的数学意识，更灵活的数学头脑。于是紧跟着的问题是，数学教育如何才能满足这些要求？首先是数学教育的目的。传统数学教育中数学学习是紧密与升学联系的，而信息时代的数学教育要求提高全社会成员的数学素质。通过数学教育，学生应该对数学的价值有正确的认识，懂得数学在信息社会中应用的广泛性。当学生明确足够的数学不再仅与升学有关，而是在信息社会中求职和成功机遇的重要因素时，“数学有用”的观念就能深入人心，成为有效的激发学生学习数学的动力。以这一观点审视当前的数学教育，一个重大的缺陷是缺乏时代感。这倒不是说要把高等数学下放到中学讲，但起码应在数学教学的过程中渗透数学与实际的紧密联系，帮助学生树立正确的数学态度。是否可增加些作为信息社会公民应具备的基本数学常识，如统计、概率、误差、图表、图象、程序、逻辑等内容？就是传统的教学内容，从问题的引入、展开、到内容的取舍也需重新加以斟酌，如方程与函数教材的处理、方程的引入情景、方程的精确解和近似解、方程组解法的侧重点、对数的概念与常用对数的比重、数表计算尺计算器的使用等等。一个明显的问题是随着计算机的广泛使用，许多社会生活的实际问题由于克服了手工计算的障碍能够进入数学教学了。数学教育可以而且应该突出它鲜明的时代特性。其次，我们以为数学教学中是否应渗透计算机意识。这不是说把数学课变为计算机课，而是要学生意识到越来越多的问题可以归结或表示成为能用计算机手段处理的数学问题。当初笛卡儿在思想的指导法则里设计了一个解决各种问题的模式：（1）把任何问题化成数学问题。（2）把数学问题化成一个代数问题。（3）把代数问题归结为解方程式。笛卡儿这里要给出解决天下所有问题的万能模式。虽然这是不切实际的，但他的思想是深刻的，特别对计算机技术迅速发展的今天有现实意义。实际上可以用计算机处理的问题是相当广泛的。为此，首先需要找到能反映问题规律的数学模型，然后寻求适当的算法，再编制计算机能识别的程序。在上机运算以前有大量的数学工作要做。所谓在数学教学中渗透计算机意识，就是要渗透数学模型的思想，算法的思想和程序的思想。这些在当前的教学中是薄弱的，有些时候我们太注重一些只有欣赏价值的技巧，而对整体的数学思想方法重视不够，对如何培养学生提出问题、分析问题和解决问题能力尚缺少研究。再一个问题是数学能力的培养。传统的数学教育强调三大能力，即运算能力、逻辑思维能力和空间想象力。其中至少关于运算能力就需要考虑计算机的因素，例如有了计算机，数学表、十进对数和计算尺的作用显然降低了。过去教学中的笔算、心算、表算、尺算现在需要重新加以考虑，它们对学生今后的发展与实际应用起什么作用？对于数与式的计算应该要求到什么程度？一方面，即使有了计算机，有些基本的笔算和心算技能也应严格训练，不能松懈；另一方面，有些传统的教学要求已经不符合今天的发展了。例如，因式分解中技巧性太强的题目可否删去，过于繁复的代数式与三角式的化简可否不再要求？而适于上机操作的迭代递推等算法可否适当介绍一些。进一步，计算机（器的简单操作、计算机的数学应用程序（如“几何画板”、“Mathmatica”)是否应进入教学？从我们的实践看，如果学生掌握了一些数学应用程序对他们利用计算机学数学是非常有利的。当然计算机对数学教学带来的影响决不只这些，例如设计计算机程序必然涉及各种计算机语言，而这又需要数理逻辑的基本知识。传统的数学教学中逻辑思维能力主要是通过几何课进行训练的，这显然不符合时代的要求。所以从教材内容的科学化，教学观念的更新还都有不少有待于认真研究的问题。三、关于计算机辅助数学教学的一些思考在讨论数学教育改革的种种意见中，现代教育技术是备受关注的。美国数学教育界认为：“在众多促进数学教育改革的因素中，现代技术具有最大的潜在的革命性影响。”(学校数学的改造：课程(改造)的哲学和框架，英文版，第22页)而现代教育技术主要是指把计算机用于教育的技术，即计算机辅助教学，简称CAI。(computer aided instruction)当前传统的数学教育面临巨大的困难。从教学内容看，几十年不变，内容陈旧；从教学方法看，大部分数学课堂没有摆脱以教师传授为主的注入式，数学课难以唤起学生的积极性；从教学对象看，数学教育并没有做到面向全体学生,真正的“因才施教”至今还难以实现；从教学目标看，决大部分精力还放在应付考试的单纯解题训练上，数学知识的形成过程被淹没了，数学与实际的生动联系不见了；从教学模式看，基本上还是教师讲学生听的“一刀切”的班级授课，学生被动学习的局面没有改变，缺少必要的“个别化”教学与学生彼此之间的交流，学生的课堂参与是极其有限的；从教学评估看，大部分是凭经验“摸着石头过河”，难于及时准确地了解教学信息，因而我们的教学策略难以保证有很强的针对性；从教学手段看，没有摆脱“粉笔加黑板”的束缚，计算与画图还是传统的手工方式，教师的工作基本上还属于个体的手工业劳动。数学不仅是学生的沉重负担，也是教师的沉重负担，综上所述，传统的数学教育在喘息，陈旧的内容，陈旧的方法，陈旧的观念，缺乏生气的课堂，事倍功半的效果，传统教学似乎使出了全身的气力，却仍不能满足数学化时代的需求。人们认为：把计算机引入教育将带来深刻而广泛的的影响，它不单会影响到教学内容的变化，而且将引发教学方法、教学模式、教学观念等等一系列的变革。人们看中了计算机能将文字、图形、动画和声音有机地编排在一切，从而激发学生的兴趣，增强学习的积极性；人们看中了计算机能给学生提供更多动手的机会，特别是计算机的人机交互功能，为实现教学的“个别化”创设了理想的环境。对数学教学而言，特别令人欣赏的是计算机的快速计算本领与绝妙的处理图形的能力，人们断定计算机将能迅速改变数学教学的面貌。然而从CAI兴起至今，人们期望看到的奇迹还没有发生，借助于计算机促进数学教学改革的进程相当艰难。一个大问题是教学软件。市场上号称“电脑教师”的教育软件多半是课本搬家式的电子书或变换方式的习题集。这类教育软件使人们对CAI 产生了怀疑：“原来这就是CAI 呀!看来与其用这类软件还不如认真地看看书，更不如听有经验的教师讲课。”所谓“电脑教师”还是不如真正的教师，计算机还是难以进入课堂。于是教师只好亲自参与开发软件，由于教师远比一般的计算机工程师熟悉教学、了解学生心理，所以这类软件可以在教学中发挥一定作用。但问题又来了，那就是开发效率太低，一节课用的软件需要几十个小时开发，谁都难以长期坚持下来。加之每一个软件都体现了开发者的个性，在当前每一位教师都要在课堂上展现自己个性的情况下，教学软件难以推广。于是各地都在开发大都只在自己的教学中应用的属于自己的软件。面临以上困难，多数教师不愿做吃力不讨好的事，还是钟情于粉笔与黑板。同时，低水平的重复开发又引来对CAI的种种非议：用大量的人力物力搞CAI是否值得？在现时条件下CAI到底能给教学改革注入多大的活力？在借助于CAI促进各学科的教学改革中，数学大概是最困难的学科，引起的争论也最大，首先是怎样激发学生的学习兴趣？借助于多媒体技术，英语、生物，地理等学科的教学软件可以做得图文并茂、有声有色，但数学却不能，因为数学是需要进行进行思维训练的，不仅依靠课件表面的生动难于激发学生持久的学习热情，而且也难于达到数学教学的目的。一个尖锐的问题是:在数学教学中引入CAI 是有助于学生的思考呢，还是相反？有些人担心过分依赖计算机将导致学生相应能力的萎缩。这种担心并不是杞人忧天，一些西方国家孩子当前数学能力的下降似乎与滥用计算机技术有关。事实上，现代数学技术的发展不仅使数字计算变得轻而易举，而且一个复杂的方程求解、一个方程曲线或函数图象的绘制，一个积分或矩阵的运算，都只需轻轻一按键盘，一切结果顷刻会在电脑屏幕上显示出来。这种“描述”数学结论式的数学对数学教育是巨大的挑战。它有助于概念的理解吗？有助于问题的求解吗？有助于学生数学能力的提高吗？甚至数学教育的必要与目的性都受到怀疑，学生会问：有了计算机还学数学干什么？教师会问：有了计算机数学还教什么？数学教育的本质究竟是什么？但是计算机的汹涌浪潮却势不可挡，谁也栏不住的。当计算机进入千家万户之后，连学生玩电脑游戏软件我们都看不住，谁又能禁止他利用数学软件完成数学作业呢？看来，既不能对计算机持反对态度，也不能对它持无可奈何的消极态度，积极的对策是更新观念，认真研究一下有了计算机教学内容、教学方法、教学模式应该有哪些变化，研究数学CAI的理论和原则，考虑在现代教育技术支持下什么是理想的数学教育。讨论什么是理想的数学CAI，首先要讨论什么是理想的数学教学，要讨论计算机以外的因素。这就必须考虑数学的学科特点，考虑不同学生学习数学的心理特征，还要考虑数学技术飞速发展的未来社会对人的数学素质的需求，然后再回过来讨论CAI软件的设计思想与使用原则。这当然是一个复杂的问题，很难在一篇文章中讨论清楚。但我们以为至少以下原则是肯定的：(1)启发性 启发性是数学教学的灵魂，因为归根结底数学是人类一种高度的精神活动。美国著名数学家柯朗 （R Courant）在数学是什么一书中指出，“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志，缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要求是：逻辑和直观，分析和构造，一般性与个别性。虽然不同传统可以强调不同的侧面，然而这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成数学科学的生命、用途和繁高价值。”因而数学教学决不能只告诉学生现成的数学结论，或让他们死记公式定理法则。历史上，数学的每一步前进都是以数学家付出的艰难探索为代价的，有些成果甚至是上百年几代数学家心血的积累。今天要在很短的时间里让学生理解它们，不启发他们运用自己的智力认真思考怎么能行？在这个意义上讲，数学教师的责任在于再创造，在于提出深入浅出循循善诱的问题、设计最佳的教学情景与活动，让学生通过自己的思考去获得知识。在传统教学中启发式谈了几十年，至今并没有很好的解决，现在在数学教学中引入CAI 情况又怎样呢？应该说大量死板的课本搬家式的软件使人担忧，如果说多数传统的数学课堂缺少启发式，那么这类软件就根本没有启发式。所谓讲解就是在屏幕上显示出有关的概念、定理、公式，不谈他们的来源和用场，不谈知识的内在联系和发展，更不谈最值得领悟的数学思想和方法。所谓练习就是在屏幕上显示出答案，有的甚至连必要的过程都没有，对于判断选择题或一类简单的填空题，计算机倒是有些交互功能，但反馈信息却谈不上任何启发性。试想：当学生答对时屏幕显示出“对了，你真聪明!”，当学生答错时屏幕显示“真遗憾，你没答对，请再加油想想。”人们这时对CAI 会怎么看呢？是否与传统教学相比，计算机更不利于表现启发式的教学呢？是否对表现以抽象与严谨为特征的数学，不是计算机的特长甚至是它的特短呢？我们认为对数学CAI持如此悲观的看法是不必要的。实践表明，计算机在这方面不是无能为力而是大有潜力的。近年来我们在教学中引入数列的极限、周期函数与周期函数的周期、正方体的截面等教学软件，都较之传统教学更富于启发性。过去对这些传统教学的难点，教师常感到力不从心，而现在通过精心设计的数学CAI，教学更多成为学生自己思考探索的过程，计算机缩短了抽象严谨的数学与学生认知水平之间的距离。于是新的课题出现了。过去探讨如何在粉笔加黑板的班级教学条件下设计启发式的数学教学，现在则需要考虑如何在计算机技术的支持下设计出比传统教学更富于启发性的教学、(2)针对性 有的放矢的教学对所有学科都是重要的，但对数学教学的重要性就尤其突出。由于数学知识的内部联系密切，环环相扣，系统性强，某一学习环节的障碍，往往造成下一阶段学习的困难，因而学生一旦在数学学习上掉队往往很难补上。数学学习心理学认为：数学学习并非一个被动的接收过程，而是学习者以自己原有的知识和经验为基础的主动建构过程。如此说来数学教学必须考虑每一个学习者原有的知识和经验，只有这样才谈得上教学的针对性，也才谈得上有意义的教学。在传统教学中教学的针对性解决得如何呢？实践表明，当前在以教师为中心的班级授课的条件下，这个问题是难于解决的。由于教师在课堂上只能用统一的节奏，同样的策略，面对全班学生，更多地只能考虑共性，难于照顾个性。而每个学生原有的基础知识与经验不同、思维有快有慢，教师在课堂上不可能做到针对每一个学生。在数学教学中引入CAI 情况有了一些变化。在我们的实践中，学生一人一机或两人一机利用教学软件学习，他们可以利用键盘或鼠标控制学习节奏，还能通过菜单选择他们需要的内容或帮助信息，这在一定程度上增强了教学的针对性。然而利用数学CAI 软件学习，教学针对性的问题并没有完全解决，并且在许多情况下电脑还不如教师。有经验的教师的最大的特长是能够随机应变因势利导，他可以提出恰当的问题及时了解学生的掌握程度，在得到学生的反馈信息之后，他们能马上变换教学策略，几句话讲到点子上，使学生茅塞顿开。教学软件要有针对性，就要求设计者必须设身处地地设想电脑在和学生面对面地交谈，学生看到电脑的每一屏他可能怎么想，下一步屏幕上又该显示怎样的具有启发性的文字或图象，这对软件设计的要求是很高的。所谓智能化的软件应该是能对不同的学生适时改变教学策略的软件，这样的软件或许可称得上是“电脑教师”了，遗憾的是当前市场上的“电脑教师”名不符实，至今还没有看到真正智能性的软件。其实要求教学软件具有和教师一样的灵活的智能性，本身就不现实。可以肯定，设计智能化的“电脑教师”要比设计与国际象棋大师对弈的“深兰”不知要困难多少个数量级。我们以为正确的思路是并非让计算机代替教师，而是充当教师的得力助手，这样计算机就大有可为了。例如能否考虑几种主要的学生类型，根据他们的不同学习心理设计针对性较强的教学软件；能否考虑把数学CAI与传统教学结合起来做到优势互补；能否考虑利用网络技术加强学与教的及时交互等等。3) 学生的主动参与程度学生是学习的主体，数学学习中的概念理解与问题求解，哪一样也离不开学生的主动参与。然而在以教师为中心的传统课堂上，学生的参与是有限的。在数学研究中，数学家在“做”数学，在数学教学中，学生在听数学，这两者有本值的区别。美国的数学家对传统教学提出了疑问：“我们现在所教授的是我们正在做的那种数学吗？”讨论这个问题是有积极意义的。它不仅涉及到传统的传授数学知识的方式是否有效，是否能调动学生数学学习的主动性与积极性，还涉及到数学教学能否有助于建立学生正确的数学观并增强他们学习数学的自信心。我们认为现在数学课堂教学评价的一个误区是：衡量数学课的质量更多看中的是教师的表演，而不是学生自身的参与。把CAI 引入数学课以后情况发生变化了吗？从目前的情况看，基本上没有变。大多数课堂上，计算机的作用只相当与一个放相机辅助教师讲解演示，计算机所特有的交互性没有发挥作用。学生还是看着大屏幕听教师讲，教师为中心的传统教学模式没有改变。值得注意的是现在各地正在投入大量的人力物力开发这类软件。比课本搬家式的软件略有进步的只是增加了一些动画，有的还插进教师讲课的片断，细想起来这类软件完全可以用录相片替代的。看来数学教学软件的设计必须要考虑教学模式，计算机仅仅是帮助教师讲解演示呢，还是可以用来支持数学教学的个别化，或利于促进小组讨论式的协作学习？近年来我们进行了这方面的探索，开发了一些这样的软件，如“反三角函数的概念与性质”，“异面直线的概念”，“异面直线的角和距离”等等。学生可以利用软件一人一机或两人一机，边看屏幕、边敲键盘、还可以对照屏幕演算推导、阅读课本、相互讨论、向教师质疑。实践表明学生的主动性极大地增强了，这在一定程度上实现了由听数学到做数学的转变。但还有许多问题没有解决。例如怎样看待学生的参与。是否学生的参与只限于在计算机上作题，事实上学生在计算机上完成选择题与填空题是方便的，而完成解答题就很困难，姑且不谈证明题的思路设计，就是数学表达式的输入就存在严重的障碍。计算机并不利于学生的笔头及口头表达与相互交流，而这些利用传统教学的纸和黑板倒更方便，例如，课堂的集体讨论更容易创设口头交流的活跃气氛。那么学生的哪些活动适宜在计算机上进行，哪些宜于离开计算机？支持学生积极参与的软件又如何设计，如何使用？数学CAI与传统教学如何配合？再一个现实问题是开发教学软件的效率，能否利用现成的工具投入很少的时间同样能组织学生积极参与的数学活动呢？只有这样广大教师才能够接受计算机，数学CAI也才能真正促进数学教学的改革。我们认为估价计算机对数学教改的作用，不应局限于一节课、一个课件，而应从整体出发进行教学设计。最近把“几何画板”及“mathcad”引入教学的实验给了我们很大的鼓舞，我们坚信计算机能带来数学教学模式的深刻变革，学生能够从被动接收的学习方式变成主动的发现和探索知识。综上所述，计算机能给数学教改注入强劲的活力，但计算机技术不是关键的因素，起决定作用的还是教师，是信息时代数学教师的教育观念。实践呼唤理论，过去多年传统教学形成的的数学教学法，数学教育观显然不能圆满地解答现在涌现的许多新问题了，时代需要我们探索和发展数学教育的新理论。四、对当前数学教改几个热点问题的意见以下我们将探讨，在提供现代教育技术支持的条件下，当前数学教改的几个具体问题。它们是：1)计算机对几何教改的影响。2)计算机与数学概念教学。3)计算机与问题求解。4)计算机对教学模式的影响。1) 计算机对几何教改的影响几何多年来是教学的难点，也是数学教改的热点，核心是对欧几里得几何如何改造。这个问题牵动了许多数学家和数学教育家。“新”数运动中，作为布尔巴基学派领袖的法国数学家丢东涅(J. A. Dieudonne)曾提出“欧几里得”滚蛋的口号。而另一位著名数学家R. 托姆(R.Thom)则认为欧氏几何是把二维、三维空间的过程转述为书面语言的第一个例子；几何思维是人类理性活动的正常发展中不可省略的阶段。经过十多年，“新”数学运动失败了，它留给世人一连串深刻的思考和教训，其中重要的一条是：对欧几里得几何这份宝贵的历史遗产的改造要持慎重态度。当前这场争论仍在继续。例如，在计算机飞速发展的今天，计算机不仅能快速的进行计算，还能进行机器证明。于是一些数学家包括最著名的数学家提出：几何教改的方向就是几何的代数化、几何证明的机械化。另一些数学家其中也包括最著名的数学家则对此表示了担心。英国数学家M. 阿蒂亚(M. Atiyah)认为几何直观是增进数学理解力的有效途径.，欧氏几何在学校的衰落是件不幸的事。我国数学家丁石孙教授认为。“由希腊人开创的几何