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通信原理习题参考答案第三章3-2.设随机过程(t)可表示成 (t)2cos(2t+)式中是一个离散随机变量，且P(=0)=1/2、P(=/2)=1/2，试求E(1)及R(0,1)。解：求E(1)就是计算t=1时(1)的平均值： (0)2cos(0+)2cos (1)2cos(2+)2cos E(1)P(=0)2cos0P(=/2)2cos(/2) (1/2)20 1 R(0,1)E(0)(1) E2cos2cos E4cos2 P(=0)4cos20P(=/2)4cos2(/2) (1/2)4 2题解：从题目可知，是一个离散的随机变量，因此采用数理统计的方法求出(t)在不同时刻上的均值和相关函数就显得比较容易。3-3. 设Z(t)X1cos0tX2sin0t是一个随机过程，若X1和X2是彼此独立且具有均值为0，方差为2的正态随机变量，试求(1) EZ(t)、EZ2(t) (2) Z(t)的一维分布密度函数f(z);(3) B(t1,t2)与R(t1,t2)。解：(1) EX1EX20，且X1和X2彼此独立 EZ(t)EX1cos0tX2sin0t EX1cos0tEX2sin0t EX1cos0tEX2sin0t 0EZ2(t)E(X1cos0tX2sin0t)2 EX12cos20t2 X1 X2 cos0t sin0tX22sin20t EX12cos20tE2 X1 X2 cos0t sin0tEX22sin20t cos20t EX122 cos0t sin0tEX1EX2sin20t EX22 cos20t EX12 sin20t EX22 又 EX12DX1E2 X1DX12 EX22DX2E2 X2DX22 EZ2(t)2 cos20t2 sin20t 2 (cos20tsin20t) 2 (2)由于Z(t)X1cos0tX2sin0t是由两个正态随机变量X1和X2叠加而成，因此它仍然服从正态分布，即它的其中： EZ(t)0 DZ(t)EZ2(t)E2 Z(t)EZ2(t)2所以得一维分布密度函数f(Z)为：(3) B(t1,t2)R(t1,t2)E Z(t1) E Z(t2) R(t1,t2) E Z(t1) Z(t2) E (X1cos0t1X2sin0t1)( X1cos0t2X2sin0t2) E X12cos0t1 cos0t2X1 X2cos0t1 sin0t2 X1X2sin0t1cos0t2X22sin0t1 sin0t2 cos0t1 cos0t2E X12cos0t1 sin0t2 E X1 X2 sin0t1cos0t2 E X1 X2sin0t1 sin0t2 E X22 cos0t1 cos0t2E X12 sin0t1 sin0t2 E X22 2 (cos0t1 cos0t2sin0t1 sin0t2) 2 cos0(t1t2) 2 cos0 其中t1t23-5. 若随机过程z(t)m(t)cos(0t)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关函数Rm()为 是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立。(1) 证明z(t)是宽平稳的；(2) 绘出自相关函数Rz()的波形；(3) 求功率谱密度Pz()及功率S。解：(1) Ez(t)Em(t)cos(0t) （m(t)和彼此独立） Em(t) Ecos(0t) =0 RZ()RZ(t , t+) Ez(t) z(t+) Em(t)cos(0t) m(t+)cos0(t+) Em(t) m(t+) Ecos(0t)cos0(t+) 由上可见：z(t)的均值Ez(t)与时间t无关，相关函数RZ()只与时间有关 z(t)是宽平稳的随机过程 (2)由RZ()可知：RZ()是由和cos0在时域上相乘的结果，而和cos0在时域上的图形分别如下： Rm() cos0 -1 0 +1 的波形 cos0的波形 所以RZ()的波形如下： RZ() -1 +1 RZ() 的波形 (3)由z(t)m(t)cos(0t)可以看出：z(t)是由m(t)和 cos(0t)在时域上的相乘结果，则在频域上有： Pz()Pm() *Pc() ，其中Pm()是m(t)的频谱 Pc()是cos(0t)的频谱又因为 Pm() Pc() Pz()Pm() *Pc() * SRZ(0)3-8.将一个均值为零、功率谱密度为n0/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为c、带宽为B的理想带通滤波器上，如图P2-1所示。 H() 2B 2B c 0 c 图 P2-1(1) 求滤波器输出噪声的自相关函数；(2) 写出输出噪声的一维概率密度函数。解： (1)先求出频域上的输出噪声功率： 再求时域上的自相关函数，实际上就是频域的傅里叶逆变换： (2)高斯过程通过线性系统时仍然是一个高斯过程，即输出噪声的一维概率密度函数也是一个高斯过程，又 其中是表示输出噪声的时域表达式，是表示输入噪声的均值同时 输出噪声的一维概率密度函数为： 3-11. 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为Tb，脉冲幅度取1的概率相等。现假设任一间隔Tb内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证： (1)自相关函数 (2)功率谱密度P()TbSa(f Tb)2 。 解：(1) ，实际上就是求在时间t和t+时，的乘积的均值。当时，和的取值互相独立，如图(a)所示 A Tb Tb Tb Tb t t+ t 图(a) 于是有： 当时，和的取值有两种情况： A Tb Tb Tb Tb t t+ t 图(b) 第一种情况：和都在同一个Tb范围内，也就是说和的取值相同，这种情况的概率是如图(b)所示设此时的自相关函数为,则有 第二种情况：和不在同一个Tb范围内，也就是说和的取值分别是两个相邻的码元，这时和是相互独立的，如图(c)所示 A Tb Tb Tb Tb t t+ t 图(c) 设此时的自相关函数为,则有 当时：综上所述，有 (2) 由的取值可以画出它的波形，如图(d)所示： R() 1 Tb Tb 图(d) 3-1