高考数学复习第九章平面解析几何第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题学案理新人教B版.docx

第2课时定点、定值、范围、最值问题考点一定点问题【例1】 (2018临汾一中月考)已知椭圆C：y21(a0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2y2相切.(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1k22，证明：直线AB过定点.(1)解直线过点(a，0)和(0，1)，直线的方程为xaya0，直线与圆x2y2相切，解得a22，椭圆C的方程为y21.(2)证明当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，由k1k22得2，解得x01.当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为ykxm(m1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，整理得(12k2)x24kmx2m220，得x1x2，x1x2，由k1k2222，即(22k)x1x2(m1)(x1x2)(22k)(2m22)(m1)(4km)，即(1k)(m21)km(m1)，由m1，得(1k)(m1)kmkm1，即ykxm(m1)xmm(x1)yx，故直线AB过定点(1，1).综上，直线AB过定点(1，1).规律方法圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【训练1】 (2018西安模拟)设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，若椭圆上的点T(2，)到点F1，F2的距离之和等于4.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线ykx(k0)与椭圆C交于E，F两点，A为椭圆C的左顶点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.问：以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.解(1)由椭圆上的点T(2，)到点F1，F2的距离之和是4，可得2a4，a2.又T(2，)在椭圆上，因此1，所以b2.所以椭圆C的方程为1.(2)因为椭圆C的左顶点为A，所以点A的坐标为(2，0).因为直线ykx(k0)与椭圆1交于E，F两点，设点E(x0，y0)(不妨设x00)，则点F(x0，y0).由消去y，得x2，所以x0，则y0，所以直线AE的方程为y(x2).因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，令x0，得y，即点M.同理可得点N.所以|MN|.设MN的中点为P，则点P的坐标为.则以MN为直径的圆的方程为x2，即x2y2y4，令y0，得x24，即x2或x2.故以MN为直径的圆经过两定点P1(2，0)，P2(2，0).考点二定值问题【例2】 (2018长春模拟)已知抛物线E：x22py(p0)的焦点为F，以抛物线E上点P(2，y0)为圆心的圆与直线y相交于M，N两点且|.(1)求抛物线E的方程；(2)设直线l与抛物线E相交于A，B两点，线段AB的中点为D.与直线l平行的直线与抛物线E切于点C.若点A，B到直线CD的距离之和为4，求证：ABC的面积为定值.(1)解由抛物线的定义得|PF|y0，点P到直线y的距离为y0，圆P与直线y相交于M，N两点，且|，即cosPMN，PMN30，点P到直线y的距离为|，即|2，|，y0，得y0p，将点(2，p)代入抛物线方程，得p2，抛物线E的方程为x24y.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为ykxb，代入抛物线方程，得x24kx4b0，则x1x24k，x1x24b，则点D(2k，2k2b).设与直线l平行且与抛物线E相切的直线方程为ykxm，代入抛物线方程，得x24kx4m0，由16k216m0，得mk2，点C的横坐标为2k，则C(2k，k2)，直线CD与x轴垂直，则点A，B到直线CD的距离之和为|x1x2|，即|x1x2|4，4，则16k216b32，即b2k2，|CD|2k2bk2|2，SABC|CD|x1x2|244，即ABC的面积为定值.规律方法圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；引起变量法：其解题流程为【训练2】 (2016北京卷)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值.(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.所以椭圆方程为y21.(2)证明由(1)知，A(2，0)，B(0，1).设椭圆上一点P(x0，y0)，则y1.当x00时，直线PA方程为y(x2)，令x0得yM.从而|BM|1yM|.直线PB方程为yx1.令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值.考点三范围与最值问题【例3】 (2018武汉模拟)已知点F为椭圆E：1(ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围.解(1)由题意，得a2c，bc，则椭圆E为1.由得x22x43c20.直线1与椭圆E有且仅有一个交点M，44(43c2)0c21，a2，b，椭圆E的方程为1.(2)由(1)得M，直线1与y轴交于P(0，2)，|PM|2，当直线l与x轴垂直时，|PA|PB|(2)(2)1，|PM|2|PA|PB|.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(34k2)x216kx40，依题意得，x1x2，且48(4k21)0，|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)1，k2，1.综上所述，的取值范围是.规律方法1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.2.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【训练3】 (2018惠州模拟)已知椭圆C：1(ab0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x4y60与圆x2(yb)2a2相切.(1)求椭圆C的方程；(2)已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求AMN面积的最大值.(1)解由题意，得即C：y21.(2)证明由题意得直线l1，l2的斜率存在且不为0.A(2，0)，设l1：xmy2，l2：xy2，由得(m24)y24my0，M.同理，N.m1时，kMN，lMN：y.此时过定点.m1时，lMN：x，过点.lMN恒过定点.(3)解由(2)知SAMN|yMyN|8.令t2，当且仅当m1时取等号，SAMN，且当m1时取等号.(SAMN)max.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018石家庄模拟)已知P为双曲线C：1上的点，点M满足|1，且0，则当|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A. B. C.4 D.5解析由0，得OMPM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(3，0)，而双曲线的渐近线为4x3y0，所求的距离d，故选B.答案B2.(2018衡水中学周测)设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，0，O为坐标原点，且OFA，OFB，OFC的面积分别为S1，S2，S3，则SSS等于()A.2 B.3 C.6 D.9解析由题意可知F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则(x11，y1)，(x21，y2)，(x31，y3)，由0，得(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33.又A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线上，所以y4x1，y4x2，y4x3，又S1|OF|y1|y1|，S2|OF|y2|y2|，S3|OF|y3|y3|，所以SSS(yyy)(4x14x24x3)3.答案B3.若双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx22有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A.3，) B.(3，)C.(1，3 D.(1，3)解析依题意可知双曲线渐近线方程为yx，与抛物线方程联立消去y得x2x20.渐近线与抛物线有交点，80，求得b28a2，c3a，e3.答案A4.(2018贵阳模拟)已知双曲线x2y21的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：ykxm与圆x2y21相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2x1的最小值为()A.2 B.2 C.4 D.3解析直线l与圆相切，原点到直线的距离d1，m21k2.由得(1k2)x22mkx(m21)0，k21，1k1，由于x1x2，x2x1，0k21，当k20时，x2x1取最小值2，故选A.答案A5.(2018南昌NCS项目模拟)抛物线y28x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1x24|AB|，则AFB的最大值为()A. B. C. D.解析由抛物线的定义可得|AF|x12，|BF|x22，又x1x24|AB|，得|AF|BF|AB|，所以|AB|(|AF|BF|)，所以cosAFB2，当且仅当|AF|BF|时等号成立.而0AFB0).(2)弦长|TS|为定值.理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d|x0|x0，圆的半径r|MA|，则|TS|22，点M在曲线C上，y2x0，|TS|22是定值.10.(2017全国卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，(xx0，y)，(0，y0)，由得：x0x，y0y，因为M(x0，y0)在C上，所以1，因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明由题意知F(1，0)，设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)，由1，得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22.故33mtn0.所以0，即，又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018长沙模拟)若P是双曲线C：y21右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为()A.1 B.2 C.4 D.21解析设F2是双曲线C的右焦点，因为|PF1|PF2|2，所以|PF1|PQ|2|PF2|PQ|，显然当F2，P，Q三点共线且P在F2，Q之间时，|PF2|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离.易知l的方程为y或y，F2(，0)，求得F2到l的距离为1，故|PF1|PQ|的最小值为21.答案D12.(2018合肥模拟)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最小值为_.解析点P为椭圆1上的任意一点，设P(x，y)(3x3，2y2)，依题意得左焦点F(1，0)，(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2x.3x3，x，612，即612，故最小值为6.答案613.(2018昆明诊断)已知椭圆1(ab0)，F1，F2为它的左、右焦点，P为椭圆上一点，已知F1PF260，SF1PF2，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆方程；(2)已知T(4，0)，过T的直线与椭圆交于M，N两点，求MNF1面积的最大值.解(1)由已知，得|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 604c2，即|P