浙江2020版高考数学第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.5指数与指数函数讲义（含解析）.docx

3.5指数与指数函数最新考纲考情考向分析1.了解指数幂的含义，掌握有理数指数幂的运算2.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用3.了解指数函数的变化特征.直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.1分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nN*，且n1)于是，在条件a0，m，nN*，且n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定(a0，m，nN*，且n1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.2指数函数的图象与性质yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数概念方法微思考1.如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为_提示cd1ab02结合指数函数yax(a0，a1)的图象和性质说明ax1(a0，a1)的解集跟a的取值有关提示当a1时，ax1的解集为x|x0；当0a1的解集为x|x0，且a1)的图象经过点P，则f(1)_.答案解析由题意知a2，所以a，所以f(x)x，所以f(1)1.4P59A组T7已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是_答案cbb1，又c01，cb0，a1)在1,2上的最大值比最小值大，则a的值为_答案或解析当0a1时，a2a，a或a0(舍去)综上所述，a或.题型一指数幂的运算1若实数a0，则下列等式成立的是()A(2)24B2a3C(2)01D答案D解析对于A，(2)2，故A错误；对于B,2a3，故B错误；对于C，(2)01，故C错误；对于D，故D正确2计算：10(2)10_.答案解析原式250011010201.3化简：(a0，b0)_.答案解析原式2213101.4化简_(a0)答案a2解析原式a2.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数题型二指数函数的图象及应用例1(1)函数f(x)1e|x|的图象大致是()答案A解析f(x)1e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|1，f(x)0.符合条件的图象只有A.(2)已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()Aa0，b0，c0Ba0C2a2cD2a2c2答案D解析作出函数f(x)|2x1|的图象，如图，abf(c)f(b)，结合图象知，0f(a)1，a0，02a1.f(a)|2a1|12a1，f(c)1，0c1.12cf(c)，12a2c1，2a2c2，故选D.思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论跟踪训练1(1)已知实数a，b满足等式2019a2020b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1个B2个C3个D4个答案B解析如图，观察易知，a，b的关系为ab0或0ba或ab0.(2)(2018浙江镇海中学一轮阶段检测)不论a为何值，函数y(a1)2x恒过定点，则这个定点的坐标是()A.B.C.D.答案C解析y(a1)2xa2x，令2x0，得x1，故函数y(a1)2x恒过定点，故选C.题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例2(1)已知a，b，c，则()AbacBabcCbcaDca220，可知b15a15c15，所以bac.(2)若1a”连接)答案3aa3解析易知3a0，0，a30，又由1a0，得0a1，所以(a)3，即a3，因此3aa3.命题点2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_答案解析当a1时，代入不成立故a的值为.(2)若偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则不等式f(x2)0的解集为_答案x|x4或x0解析f(x)为偶函数，当x0，则f(x)f(x)2x4，f(x)当f(x2)0时，有或解得x4或x4或x0)，则yt22t的单调增区间为1，)，令2x1，得x0，又y2x在R上单调递增，所以函数f(x)4x2x1的单调增区间是0，)思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断跟踪训练2(1)已知f(x)2x2x，a，b，则f(a)，f(b)的大小关系是_答案f(b)f(b)(2)函数f(x)x2bxc满足f(x1)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx)Cf(bx)f(cx) D与x有关，不确定答案A解析f(x1)f(1x)，f(x)关于x1对称，易知b2，c3，当x0时，b0c01，f(bx)f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(1，)上单调递增，f(bx)f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(，1)上单调递减，f(bx)1，b1，b0C0a0D0a1，b0答案D解析由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.2设2x8y1,9y3x9，则xy的值为()A18B21C24D27答案D解析2x8y123(y1)，x3y3，9y3x932y，x92y，解得x21，y6，xy27.3已知a，b(0,1)(1，)，当x0时，1bxax，则()A0ba1B0ab1C1baD1ab答案C解析当x0时，1bx，b1.当x0时，bxax，当x0时，x1.1，ab.1ba，故选C.4设alog2，b，cln，则()AcabBacbCabcDbac答案C解析log20,01，ab0，a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)，得a2，所以a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，所以f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减故选B.6已知函数f(x)的值域是8,1，则实数a的取值范围是()A(，3 B3,0)C3，1D3答案B解析当0x4时，f(x)8,1，当ax0时，f(x)，所以8,1，即81，即3aa”是“函数f(x)xm的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为_答案1解析f(0)m，函数f(x)的图象不过第三象限等价于m0，即m，“ma”是“m”的必要不充分条件，a0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_答案解析(数形结合法)当0a1时，作出函数y|ax1|的图象，由图象可知02a1，0a1时，解得0a1矛盾综上，a的取值范围是.11已知函数f(x).(1)若a1，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间为(2，)，单调递减区间为(，2)(2)令h(x)ax24x3，则f(x)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，所以1，解得a1.(3)由指数函数的性质可知，要使函数f(x)的值域是(0，)，则需函数h(x)ax24x3的值域为R，因为二次函数的值域不可能为R，所以a0.12已知函数g(x)ax22ax1b(a0)在区间2,3上有最小值1和最大值4，设f(x).(1)求a，b的值；(2)若不等式f(2x)k2x0在区间1,1上有解，求实数k的取值范围解(1)g(x)a(x1)21ba，a0，g(x)在区间2,3上是增函数，故解得(2)由(1)知g(x)x22x1，f(x)x2，f(2x)k2x0可化为122k，令t，则kt22t1，x1,1，t.记h(t)t22t1，t.h(t)0,1，kh(t)max1，即k的取值范围是(，113(2016浙江)已知函数f(x)满足：f(x)|x|且f(x)2x，xR.()A若f(a)|b|，则abB若f(a)2b，则abC若f(a)|b|，则abD若f(a)2b，则ab答案B解析|x|根据题意可取f(x)即f(x)下面利用特值法验证选项当a1，b3时可排除选项A，当a5，b2时可排除选项C，D.故选B.14(2018浙江镇海中学模拟)已知函数f(x)axxb的零点x0(n，n1)(nZ)，其中常数a，b满足2016a2017,2017b2016，则n的值是()A2B1C0D1答案B解析2016a2017,2017b2016，1a2,0b1，故函数f(x)在R上为增函数，又f(0)1b0，f(1)1b11b0，则函数f(x)在区间(1,0)上有唯一的零点，故n的值是1，故选B.15设f(x)|2x11|，af(c)，则2a2c_4.(选填“”“”“”)答案解析f(x)在(，1上是减函数，在1，)上是增函数，故结合条件知必有a1.若c1，则2a2,2c2，故2a2c1，则由f(a)f(c)，