[理学]材料力学第10章.ppt

1,1,第十章 组合变形,2,一、组合变形 ：在荷载作用下，构件往往产生两种或两种以上的基本变形，当几种变形所对应的应力属同一数量级时，则构件的变形称为组合变形。,概述,3,齿轮传动轴（图c）发生弯曲与扭转组合变形（两个相互垂直平面内的弯曲加扭转）。,吊车立柱（图a）受偏心压缩，发生弯压组合变形。,工字钢梁 （图b）两个相互垂直平面内的弯曲变形的组合,4,二、组合变形的研究方法 叠加原理,对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形下的内力、应力或位移进行叠加。,、外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解，力的平移定理；,、内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面；,、应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。,5,一、定义：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力时，杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与合成弯矩不共面。这种弯曲称为斜弯曲。,二、斜弯曲的研究方法 ：,1、分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。,2、叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加。,斜弯曲,6,现以矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲问题中应力和变形的计算。,选取梁轴线为x轴，两个对称轴分别为y轴和z轴。,将F沿y轴和z轴分解得：,7,1、任意截面mm处的弯矩,Fy将使梁在铅垂平面xOy内发生平面弯曲；而Fz 将使梁在水平平面xOz内发生平面弯曲。,力F在m-m截面上产生的总弯矩,8,在Fy和Fz共同作用下，总应力：,2、 截面上C 点处的正应力为：,设横截面m-m上K点处在xOy和xOz平面内发生平面弯曲时的正应力分别为、“,M和y、z可均取绝对值，应力的正负号根据梁的变形来直接判断。,9,为确定截面上最大正应力点的位置，先确定中性轴的方程：设x0、y0为中性轴上任一点的坐标，由中性轴各点处的正应力均为零，得中性轴方程为：,中性轴与y轴的夹角：,3、 中性轴方程,其中角为合成弯矩 与y的夹角。,10,4、最大正应力,在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。按下述方法确定：,作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相切，这两个切点（图9.3中的点D1，D2）就是该截面上拉应力和压应力为最大的点。从而可分别计算水平和竖直平面内弯曲时这两点的应力，然后叠加。,一般，IyIz，中性轴与外力作用平面并不垂直，这是斜弯曲的特点。当Iy=Iz，如圆形、正方形以及一般正多边形截面梁，中性轴与外力作用平面垂直。只要外力通过截面形心，只产生平面弯曲，而不会发生斜弯曲。,11,对于工程中常用的矩形、工字形等截面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处。于是，可以根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉应力、压应力的位置，而无需定出中性轴。,若材料的许用拉应力与许用压应力相等，其强度条件可写成：,12,例题10-1,13,拉伸（压缩）与弯曲,横向力与轴向力共同作用,图9.7所示的梁为一矩形截面梁，承受横向力q和轴向拉力F的作用。产生拉伸和弯曲的组合变形。,在轴向力F作用下,14,在横向力q作用下，梁发生平面弯曲，最大弯矩发生在跨中截面 ，即为组合变形时的危险截面,弯矩作用下的正应力沿高度按直线规律分布（图d），其值为,在轴向拉力和横向力共同作用下，危险截面上任一点处的正应力，可按下式计算：,15,危险截面上最大正应力发生在截面下边缘处,由于危险点为单向应力状态，则正应力强度条件为,拉伸（压缩）与弯曲组合变形时，中性轴不经过截面的形心。当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件。,16,偏心拉伸（压缩）,当杆件所受的外力，其作用线与杆件的轴线平行而不重合时，引起的变形称为偏心拉伸（压缩）。这种外力称为偏心力。,图9.7示矩形截面直杆，拉力F作用在A点，作用点A到z轴、 y轴的距离分别为zF和yF 。,17,18,将偏心拉力F向其作用截面的形心O1简化为轴向拉力F和力偶矩Fe，再将该力偶矩分解为对形心主惯性轴y和z的分量My和Mz(图b)：,用截面法可求得横截面ABCD上的内力为：,它们将分别使杆件发生轴向拉伸和在两纵向对称平面（即形心主惯性平面）内的纯弯曲。可见，偏心拉伸为轴向拉伸与弯曲的组合。,在横截面ABCD上任一点E (y,z)处由轴向拉力FN、弯矩 My、 Mz引起应力分别为,19,由轴力FN引起的正应力为：,由弯矩My引起的正应力为,由弯矩Mz引起的正应力为,按叠加原理，E (y,z)点处的正应力即为上述三组应力的代数和,20,上两式中，F为拉力时，取正值，压力时取负值。力偶矩My、Mz的正负号可以这样规定：使截面上位于第一象限的各点产生拉应力时取正值，产生压应力时取负值。还可以根据杆件的变形情况来确定。例如图9.7b中确定G点的应力时，在My作用下G处于受压区，则式中第二项取负值，在Mz作用下G处于受拉区，则式中第三项取正值。,在F、My、Mz各自单独作用下，横截面上应力的分布情况如图9.10a、b、c所示。图9.10d为三者共同作用下横截面上的应力分布情况。,21,22,将式（9.10）改写为,引入惯性半径,则：,此为平面方程，这表明总应力在横截面上按平面分布。此应力平面与横截面相交的直线上的正应力为零，该直线即为中性轴。令y0、z0为中性轴上任一点的坐标，将它们代入式（b），则可得中性轴的方程为：,23,由式（c）可知，中性轴是一条不通过横截面形心（坐标原点）的直线。设它在两坐标轴上的截距为ay、az。上式中令z0=0和y0=0，则可求得截距为：,上式表明ay、az分别与yF、zF成反比，且符号相反，所以中性轴与外力作用点分别处于截面形心的两侧。,24,中性轴把截面分为拉应力和压应力两个区域，中性轴的位置确定后，就很容易确定危险点的位置。很显然，离中性轴最远的点D1和D2（图9.9）就是危险点。这两点处的正应力分别是横截面上的最大拉应力和最大压应力。把D1、D2两点的坐标分别代入式（a），就可求得这两点处的正应力值，若材料的许用拉应力和许用压应力相等，则可选取其中绝对值最大的应力作为强度计算的依据，即强度条件为：,25,若材料的许用拉应力t和许用压应力c不相等时，则须分别对最大拉应力和最大压应力做强度计算。,26,例题9.3 如图所示一厂房的牛腿柱。设由屋架传来的压力F1=100kN，由吊车梁传来的压力F2=30kN。 F2与柱子的轴线有一偏心e=0.2m 。如果柱横截面宽度b=180mm，试求当h为多少时，截面才不会出现拉应力，并求柱此时的最大压应力。,解：将力F2简化到截面形心，得到轴向压力F2和力偶矩M= F2e。,用截面法可求得立柱横截面上的内力为,27,欲使横截面不出现拉应力，应使FN和MZ共同作用下横截面左边缘处的正应力为零。,解得,此时柱的最大压应力发生在截面的右边缘上各点处，其值为：,28,一般的传动轴通常发生扭转与弯曲的组合变形。由于传动轴大都是圆截面的，所以本节以圆截面为例，讨论杆件发生扭转与弯曲组合变形时的强度计算。,设一直径为d的等直圆杆AB，A端固定，B端具有与AB成直角的刚臂，并承受铅垂力F作用，如图所示。将F向B截面的形心简化，如图（b)所示。,9.4弯曲与扭转,29,AB杆发生扭转与弯曲的组合变形。作杆的弯矩图与扭矩图。杆的危险截面为固定端截面，其内力分量分别为：,由应力的变化规律可知，危险截面上的最大弯曲正应力发生在铅垂直径的上、下两端点C1和C2处。,30,危险截面上弯曲正应力在与中性轴C3C4垂直方向的变化如图e，扭转切应力沿直径C3C4和C1C2的变化如图f。,其中正应力和切应力值为,31,对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆，这两点的危险程度是相同的。为此，取其中的点C1来研究。C点的应力状态如图（g)所示。可见C点处于平面应力状态，其三个主应力为,对于用塑性材料制成的杆件，按第三强度理论或第四强度理论建立强度条件。按第三强度理论作强度计算，相当应力为,（9.14）,32,按第四强度理论作强度计算，相当应力为,求得相当应力后，即可根据材料的许用应力来建立强度条件，并对杆进行强度计算。将弯曲正应力和扭转切应力公式代入上两式，则相应的相当应力表达式可改写为：,和,（9.15）,（9.16）,（9.17）,33,例题9.4 一曲拐受力如图所示，已知：=80MPa，F=4kN，试按第三强度理论选择圆杆AB的直径。,解：危险截面A处的弯矩值M和扭矩值T为：,则按第三强度理论，由式（9.16）：,可得：,34,即圆杆AB的直径可取为45mm。,35,根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为,即,于是得：,36,本章小结,1. 在实际工程中，构件的变形往往同时包含两种或两