立体几何存在性问题.doc

立体几何存在性问题未命名一、解答题1在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB/DC，CDAD，面ABCD面ADEF，AB=AD=1.CD=2.（1）求证：平面EBC平面EBD；（2）设M为线段EC上一点，3EM=EC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT/平面BDE，若存在，试指出点T的位置；若不存在，说明理由?（3）在（2）的条件下，求点A到平面MBC的距离.2如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB/CD，ABAD，AB=2CD=2AD=4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA=PB，平面PAB平面ABCD，点E,F分别是棱AB,PB上的点，平面CEF/平面PAD（）确定点E,F的位置，并说明理由；（）求三棱锥FDCE的体积.3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1 中，AB=AD=6,AA1=23，点E在棱BC上，CE=2，点F为棱C1D1的中点，过E,F 的平面 与棱A1D1 交于G ，与棱AB 交于H ，且四边形EFGH 为菱形.(1)证明：平面A1G1E 平面BDD1B1；(2)确定点G,H 的具体位置（不需说明理由）,并求四棱锥BEFGH 的体积.4如图2，已知在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为矩形.（1）求证：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=2,AD=2x(0x2),VPABCD=433，试求点C到平面PBD的距离.5如图，三棱锥BACD的三条侧棱两两垂直，BC=BD=2，E，F分别是棱CD，AD的中点（1）证明：平面ABE平面ACD；（2）若四面体ABEF的体积为12，求线段AE的长6如图，在四棱锥PABCD中，AD/BC，AB=AD=2BC=2，PB=PD，PA=3.（1）求证：PABD；（2）若PAAB，BD=22，E为PA的中点 （i）过点C作一直线l与BE平行，在图中画出直线l并说明理由；（ii）求平面BEC将三棱锥PACD分成的两部分体积的比7如图1所示，在梯形BCDE中，DE/BC，且DE=12BC，C=90，分别延长两腰交于点A，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2所示（1）求证：A1FBE；（2）若BC=6，AC=8，四棱锥A1BCDE的体积为123，求四棱锥A1BCDE的表面积.8如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC平面ABCD，PBPD（1）证明：平面PAB平面PCD；（2）若PB=PC，E为棱CD的中点，PEA=90，BC=2，求四面体APED的体积9如图，在梯形ABCD中，ABCD,AD=DC=CB=a，ABC=60，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE平面ABCD，点M在线段EF上.（1）求证：BC平面ACFE；（2）当EM为何值时，AM平面BDF？证明你的结论.1010如图，已知菱形AECD的对角线AC, DE交于点F，点E为的AB中点.将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示.图1 图2（）求证：DE平面PCF；（）证明： 平面PBC平面PCF；（）在线段PD,BC上是否分别存在点M,N，使得平面CFM/平面PEN？若存在，请指出点M,N的位置，并证明；若不存在，请说明理由.试卷第3页，总3页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1（1）见解析.（2）见解析.（3）66.【解析】分析：（1）在梯形ABCD中，过点作B作BHCD于H，可得DBC=90，所以BCBD，由面ABCD面ADEF，可得出EDBC，利用线面垂直的判定定理得BC平面EBD,进而可得平面EBC平面EBD；（2）在线段BC上取点T，使得3BT=BE，连接MT，先证明CMT与CEB相似，于是得MT/EB，由线面平行的判定定理可得结果；（3）点A到平面MBC的距离就是点A到平面EBC的距离，设A到平面EBC的距离为h，利用体积相等可得，1312h=131223，解得h=66.详解：（1）因为面ABCD面ADEF，面ABCD面ADEF=AD，EDAD，所以ED面ABCD，EDBC.故四边形ABHD是正方形，所以ADB=45.在BCH中，BH=CH=1，BCH=45.BC=2，BDC=45，DBC=90BCBD.因为BDED=D，BD平面EBD，ED平面EBD.BC平面EBD,BC平面EBC，平面EBC平面EBD.（2）在线段BC上存在点T，使得MT/平面BDE在线段BC上取点T，使得3BT=BE，连接MT.在EBC中，因为BTBC=EMEC=13，所以CMT与CEB相似，所以MT/EB又MT平面BDE，EB平面BDE，所以MT/平面BDE.（3）点A到平面MBC的距离就是点A到平面EBC的距离，设A到平面EBC的距离为h，利用同角相等可得，1312h=131223，可得h=66. 点睛：证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.2（）见解析（）VFDCE=23【解析】试题分析：（1）根据面面平行的性质得到CE/AD，EF/PA，根据平行关系和长度关系得到点E是AB的中点，点F是PB的中点；（2）VF-DCE=12VP-DEC，因为PA=PB,AE=EB，所以PEAB，进而求得体积.详解：（1）因为平面CEF/平面PAD，平面CEF平面ABCD=CE，平面PAD平面ABCD=AD，所以CE/AD，又因为AB/DC，所以四边形AECD是平行四边形，所以DC=AE=12AB，即点E是AB的中点因为平面CEF/平面PAD，平面CEF平面PAB=EF，平面PAD平面PAB=PA，所以EF/PA，又因为点E是AB的中点，所以点F是PB的中点，综上：E,F分别是AB,PB的中点；（）因为PA=PB,AE=EB，所以PEAB，又因为平面PAB平面ABCD，所以PE平面ABCD；又因为AB/CD,ABAD，所以VF-DCE=12VP-DEC=16SDECPE=1612222=23点睛:这个题目考查了面面平行的性质应用，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.3（1）见解析（2）G为棱A1D1上靠近A1的三等分点，H为棱AB中点，83【解析】分析：(1)要证平面A1C1E 平面BDD1B1 ，即证A1C1平面BDD1B1 ，即证A1C1B1D1，A1C1BB1； (2)G为棱A1D1上靠近A1的三等分点，H为棱AB中点，利用等体积法VB-EFGH=2VB-EFH=2VF-BEH即可求得结果.详解：(1)在矩形A1B1C1D1 中,AB=AD,A1B1=A1D1,A1C1B1D1.又BB1平面A1B1C1D1，BB1A1C1.BB1B1D1=B1,A1C1平面BDD1B1.又A1C1平面A1C1E,平面A1C1E 平面BDD1B1.(2)G为棱A1D1上靠近A1的三等分点，H为棱AB中点，HB=3,BE=4，所以HBE的面积SHBE=12HBBE=1243=6.于是四棱锥B-EFGH的体积VB-EFGH=2VB-EFH=2VF-BEH=213sHBEBB1=213623=83.点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值4（1）见解析；（2）2217【解析】分析：（1）由平面PAD平面ABCD，根据面面垂直的性质可得AB平面PAD，由面面垂直的判定定理可得结论；（2）取AD的中点O，则PO平面ABCD，PO=4-x2，由VP-ABCD=13SABCDPO=134x4-x2=433x=1，从而利用棱锥的体积公式可得结果.详解：（1）证明：平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，ABAD AB平面PADAB平面PAB 平面PAB平面PAD（2）解：取AD的中点O，则PO平面ABCD，且PO=4-x2，VP-ABCD=13SABCDPO=134x4-x2=433x=1或3（舍去），则AD=2又易知PB=BD=22，且PD=2SPBD=7，所以VC-PBD=13SPBDh=137h=VP-BCD=12VP-ABCD=233，解出h=2217点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论(a|b,ab)；（3）利用面面平行的性质a,|a；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.5(1)证明见解析；(2)11.【解析】分析：（1）推导出BECD，ABCD，从而CD平面ABE，由此能证明平面ABE平面ACD；（2）取BD的中点G，连接EG，则EGBC推导出BC平面ABD，从而EG平面ABD，由此能求出线段AE的长详解：（1）证明：因为BC=BD，E是棱CD的中点，所以BECD又三棱锥B-ACD的三条侧棱两两垂直，且BCBD=B，所以AB平面BCD，则ABCD因为ABBE=B，所以CD平面ABE，又CD平面ACD，所以平面ABE平面ACD（2）解：取BD的中点G，连接EG，则EG/BC易证BC平面ABD，从而EG平面ABD，所以四面体ABEF的体积为1312AB12BDEG=AB6=12，则AB=3，在RtABE中，BE=2，AE=32+2=11点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.6（1）见解析；（2）见解析，13【解析】分析: (1) 取BD中点O,连接AO,PO,先证明BD面PAO,再证明PABD.(2) (i)取PD中点F,连接CF,EF,则CF/BE，CF即为所作直线l,证明四边形BCFE为平行四边形即得证. （ii）先分别计算出两部分的体积，再求它们的比.详解：（1）证明：(1)取BD中点O,连接AO,PO AB=AD,O为BD中点，AOBD 又PB=PD,O为BD中点，POBD又AOPO=O，BD面PAO 又PA面PAO，PABD(2)(i)取PD中点F,连接CF,EF,则CF/BE，CF即为所作直线l ,理由如下: 在PAD中E、F分别为PA、PD中点EF/ AD,且EF=12AD=1 又AD/BC,BC=12AD=1 EF/BC且EF=BC，四边形BCFE为平行四边形. CF/BE (ii)PAAB,PABD,ABBD=B，PA面ABD 又在ABD中,AB=AD=2,BD=22,AB2+AD2=BD2ABAD又PAAB,PAAD=AAB面PADVP-ACD=1312223=233 VC-AEFD=1312(1+2)322=32 VP-ECF=233-32=36，VP-ECFVC-AEFD=3632=13.点睛：（1）本题主要考查空间平行垂直位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.（2）对于空间平行垂直位置关系的证明有几何法和向量法两种方法，空间几何体体积的计算有公式法、割补法和体积变换法三种方法.7（1）见解析；（2）36+43+239【解析】分析：（1）先利用直角三角形和线线平行的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和性质得到线面垂直和线线垂直；（2）分析四棱锥的各面的形状，利用相关面积公式进行求解详解：（1）因为C90，即ACBC，且DEBC，所以DEAC，则DEDC，DEDA1，又因为DCDA1D，所以DE平面A1DC.因为A1F平面A1DC，所以DEA1F. 又因为A1FCD，CDDED，所以A1F平面BCDE， 又因为BE 平面BCDE，所以A1FBE （2）由已知DEBC，且DEBC，得D，E分别为AC，AB的中点，在RtABC中，AB=62+82=10，则A1EEB5，A1DDC4，则梯形BCDE的面积S1(63)418， 四棱锥A1BCDE的体积为V18A1F12，即A1F2， 在RtA1DF中，DF=42-(23)2=2，即F是CD的中点，所以A1CA1D4， 因为DEBC，DE平面A1DC，所以BC平面A1DC，所以BCA1C，所以A1B=62+42=213，在等腰A1BE中，底边A1B上的高为52-(13)2=23， 所以四棱锥A1BCDE的表面积为SS1SA1DESA1DCSA1BCSA1BE18344264223642点睛：本题考查空间中的垂直关系的转化、空间几何体的表面积等知识，意在考查学生的空间想象能力和数学转化能力8（1）见解析；（2）23【解析】分析：(1)由面面垂直的性质定理得到CD平面PBC，即CDPB，进而得到平面PAB平面PCD,(2)由等体积法求解，VA-PED=VP-AED。详解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，CDBC.平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCD=BC，CD平面ABCD，CD平面PBC，CDPB. PBPD，CDPD=D，CD、PD平面PCD，PB平面PCD. PB平面PAB，平面PAB平面PCD.（2）取BC的中点O，连接OP、OE. PB平面PCD，PBPC，OP=12BC=1，PB=PC，POBC平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCD=BC，PO平面PBC，PO平面ABCD，AE平面ABCD,POAE.PEA=90O, PEAE.POPE=P，AE平面POE，AEOE. C=D=90O, OEC=EAD,RtOCERtEDA，OCED=CEADOC=1，AD=2，CE=ED，CE=ED=2，VA-PED=VP-AED=13SAEDOP=1312ADEDOP =1312221=23点睛：本题主要考查面面垂直，线面垂直，考查三棱锥体积的求法，考察学生分析解决问题的能力，考查学生的空间想象能力。9(1)见解析;(2)EM=33a.【解析】分析：（1）在梯形ABCD中，利用梯形的性质得ACBC，再根据平面ACFE平面ABCD，利用面面垂直的性质定，即可证得BC平面ACFE；（2）在梯形ABCD中，设ACBD=N，连接FN，利用比例式得MF/AN，进而得AMNF，利用线面平行的判定定理，即可得到AM平面BDF.详解：（1）在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=a，ABC=60，四边形ABCD是等腰梯形，且DCA=DAC=30，DCB=120，ACB=DCB-DCA=90，ACBC.又平面ACFE平面ABCD，又平面ACFE平面ABCD=AC，BC平面ACFE.（2）当EM=33a时，AM平面BDF，在梯形ABCD中，设ACBD=N，连接FN，则CN:NA=1:2，EM=33a，而EF=AC=3a，EM:MF=1:2，MF/AN，四边形ANFM是平行四边形，AMNF，又NF平面BDF，AM平面BDF，AM平面BDF.点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直10（）证明见解析；（）证明见解析；（）PD和BC的中点，证明见解析.【解析】分析：（）由菱形的性质可得DEPF,DECF,又PFCF=F