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第二课时最值与范围问题考向一圆锥曲线中的最值问题【典例】 已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y24x上相异两点,且满足x1x22(1)若AB的中垂线经过点P(0,2),求直线AB的方程;(2)若AB的中垂线交x轴于点M,求AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程思路分析总体设计看到:求直线方程和最值问题想到:直线方程的几种形式及构建关于面积函数,转化为函数最值问题解题指导(1)设出直线AB的方程并代入抛物线方程,结合根与系数关系求解AB的斜率;(2)以三角形面积为突破口建立关于面积的函数,通过利用导数求面积最大值,解得直线斜率,从而求出直线方程.规范解答(1)当AB垂直于x轴时,显然不符合题意;所以可设直线AB的方程为ykxb,1分代入方程y24x得:k2x2(2kb4)xb20,x1x22,得bk,直线AB的方程为yk(x1),3分AB中点的横坐标为1,AB中点的坐标为,AB的中垂线方程为y(x1)x,4分AB的中垂线经过点P(0,2),故2,得k,直线AB的方程为yx.5分(2)由(1)可知AB的中垂线方程为yx,M点的坐标为(3,0),6分直线AB的方程为k2xky2k20,M到直线AB的距离d,7分由得y2ky2k20,y1y2,y1y2,8分|AB|y1y2|,9分SMAB4 ,设 t,则0tb0)上的三点,其中点A的坐标为(2,0),BC过椭圆的中心,且OCA90,|BC|2|AC|(1)求椭圆M的方程;(2)过点(0,t)的直线(斜率存在)与椭圆M交于P、Q两点,设D为椭圆与y轴负半轴的交点,且|DP|DQ|,求实数t的取值范围解(1)|BC|2|AC|且BC过点(0,0),则|OC|AC|OCA90,C(,)由题意知a2,则椭圆M的方程为1,将点C的坐标代入得1,解得b24椭圆M的方程为1(2)设过点(0,t)的直线的斜率为k,当k0时,显然2t0可得,t2412k2.设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为H(x0,y0),则x0,y0kx0t,H|DP|DQ|,DHPQ,即kDH,化简得t13k2,由得,1t4. 综上,t(2,4)技法总结圆锥曲线中取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围变式提升3已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,且以原点为圆心,椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin ycos 10相切(为常数)(1)求椭圆C的标准方程;(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线l与椭圆交于M,N两点,求的取值范围解(1)由题意,得故椭圆C的标准方程为y21(2)由(1)得F1(1,0),F2(1,0)若直线l的斜率不存在,则直线lx轴,直线l的方程为x1,不妨记M,N,故若直线l的斜率存在,设直线l的方程为yk(x1),由消去y得,(12k2)x24k2x2k220,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2,x1x2(x11,y1),(x21,y2),则(x1
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