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24.1.2 垂直于弦的直径(1),人教版九年级上册,问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?,赵州桥主桥拱的半径是多少?,创设情境:,由此你能得到圆的什么特性?,可以发现:圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴,不借助任何工具,你能找到圆形纸片的圆心吗?,探究:,探究:,如图,AB是O的一条弦, 直径CDAB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧? 为什么?,O,A,B,C,D,E,线段: AE=BE,叠合法,垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,CDAB, CD是直径,, AE=BE,O,A,B,C,D,E,归纳:,老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,下列图形是否具备垂径定理的条件?,是,不是,是,不是,深化:,垂径定理的几个基本图形:,CD过圆心,CDAB于E,AE=BE,巩固:,1、如图,AB是O的直径,CD为弦,CDAB于E,则下列结论中不成立的是( ),A、COE=DOE,B、CE=DE,C、OE=AE,2、如图,OEAB于E,若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。,O,A,B,E,解:连接OA, OEAB, AB=2AE=16cm,3、如图,在O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求O的半径。,O,A,B,E,解:过点O作OEAB于E,连接OA,即O的半径为5cm.,4、如图,CD是O的直径,弦ABCD于E,CE=1,AB=10,求直径CD的长。,解:连接OA,, CD是直径,OEAB, AE=1/2 AB=5,设OA=x,则OE=x-1,由勾股定理得,x2=52+(x-1)2,解得:x=13, OA=13, CD=2OA=26,即直径CD的长为26.,练习1:在圆O中,直径CEAB于 D,OD=4 ,弦AC= , 求圆O的半径。,例1:如图,圆O的弦AB8 , DC2,直径CEAB于D, 求半径OC的长。,2如图,在O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,ODAB于D,OEAC于E,求证四边形ADOE是正方形,证明:,四边形ADOE为矩形,,又 AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,3.如图,CD为圆O的直径,弦 AB交CD于E, CEB=30, DE=9,CE=3,求弦AB的长。,4.如图,AB是O的弦,OCA=300,OB=5cm,OC=8cm,则AB= ;,O,A,B,C,30,8,5,4,F,你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?,37.4m,7.2m,A,B,O,C,D,关于弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形,便将问题转化为直角三角形的问题。,解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在的圆的圆心为O,半径为r.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D,与AB交于点C,则D是AB的中点,C是AB的中点,CD就是拱高., AB=37.4m,CD=7.2m, AD=1/2 AB=18.7m,OD=OC-CD=r-7.2,解得r=27.9(m),即主桥拱半径约为27.9m.,垂径定理的应用,例2如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD垂足为F,EF=90m.求
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