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文档简介

1.5 两个重要极限,定理 1.5.1 (夹逼定理),设函数 和,在点 的去心邻域内有定义,满足不等式,而且,则 存在且,也等于,证明,对于任给的,存在,使当,时有,又存在,使当 时有,取,则当 时有,即,于是,该定理对于 的情形也成立, 证明类似.,注,(1),第一个重要极限,同除以 得到,例 求极限,解,令,则当 时,且,例 求极限,解,令,则当 时,且,例,解,(2),我们已证明,第二个重要极限,此式等价于下列两个极限同时成立:,例 求极限,解,原式,例,解,注,则,1.6 无穷小量与无穷大量,定义1.6.1:,极限为零的量称为无穷小量.,1.6.1 无穷小量,例如,注意,1.无穷小量不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小量的唯一的数.,由无穷小量的定义及极限性质可立即推知下列,性质:,(1) 两个无穷小量之和、差、积仍是无穷小量,(当 的趋向相同时);,(2) 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.,当 时 是无穷小量,是有界量,例如,而,也是无穷小量.,故,定理 1.6.1,的充分必要条件是,为无穷小量.,因此,等价于,其中 是无穷小量(当 时).,1.6.2 无穷小的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,定义:,等价无穷小可简化某些求极限的过程.,例如,可简化为,也就是说, 处于乘除位置的无穷小量可以用其,等价无穷小量来代替.,例,解,但注意, 处在加减位置的无穷小量不能以等价无穷,小量来代替,例如上述例题, 如果按下述方式做:,此结果是错误的.,1.6.3 无穷大量,绝对值无限增大的量称为无穷大量.,证,定理 1.6.2 如果当 时 是,无穷大量, 则 是无穷小量; 反之, 如果,是无穷小量且,则 是无穷大量.,习题 1.5,1(2)、(3)、(5) 2(2)、(3) 3 (2
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