2020版高考数学复习专项五突破2圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题理北师大版.docx

突破2圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2018福建厦门质检一,20)设O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,离心率为255.直线l:y=kx+m(m0)与C交于A,B两点,AF的中点为M,|OM|+|MF|=5.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P(0,1),PAPB=-4,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.2.(2018东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)一模,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆C的左、右焦点,M为椭圆C上的任意一点,MF1F2的面积的最大值为1,A、B为椭圆C上任意两个关于x轴对称的点,直线x=a2c与x轴的交点为P,直线PB交椭圆C于另一点E.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求证:直线AE过定点.3.(2018广东一模,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,且C过点1,32.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P,Q均在第一象限),且直线OP,l,OQ的斜率成等比数列,证明:直线l的斜率为定值.4.已知定直线l:y=x+3,定点A(2,1),以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)椭圆的弦AP,AQ的中点分别为M,N,若MN平行于l,则OM,ON斜率之和是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.5.(2018江西六校联考,20)已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,其中右焦点为抛物线y2=4x的焦点,点M-1,22在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设与坐标轴不垂直的直线l过F2与椭圆C交于A,B两点,过点M-1,22且平行直线l的直线交椭圆C于另一点N,若四边形MNBA为平行四边形,试问直线l是否存在?若存在,请求出l的斜率;若不存在,请说明理由.6.(2018辽宁省部分重点中学协作体模拟,20)已知M3,12是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上的一点,F1,F2是该椭圆的左右焦点,且|F1F2|=23.(1)求椭圆C的方程;(2)设点A,B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点,直线OA,OB,AB的斜率分别为k1,k2,k3,且k1k2=k2.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由.参考答案突破2圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.解 (1)设椭圆的右焦点为F1,则OM为AFF1的中位线.OM=12AF1,MF=12AF,|OM|+|MF|=|AF|+|AF1|2=a=5,e=ca=255,c=25,b=5,椭圆C的方程为x225+y25=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+m,x225+y25=1,消去y整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.0,x1+x2=-10km1+5k2,x1x2=5m2-251+5k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=5k2m2-25k2-10k2m2+m2+5k2m21+5k2=-25k2+m21+5k2,P(0,1),PAPB=-4,(x1,y1-1)(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,5m2-251+5k2+-25k2+m21+5k2-2m1+5k2+5=0,整理得3m2-m-10=0,解得m=2或m=-53(舍去).直线l过定点(0,2).2.(1)解当M为椭圆C的短轴端点时,MF1F2的面积的最大值为1,122cb=1,bc=1,e=ca=22,a2=b2+c2,a=2,b=1,椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)证明设B(x1,y1),E(x2,y2),A(x1,-y1),且x1x2,x=a2c=2,P(2,0),由题意知BP的斜率必存在,设直线BP的方程为y=k(x-2),代入x22+y2=1得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0,由0得k212,x1+x2=8k22k2+1,x1x2=8k2-22k2+1.x1x2AE斜率必存在,AE:y+y1=y1+y2x2-x1(x-x1),由对称性易知直线AE过的定点必在x轴上,则当y=0时,得x=y1(x2-x1)y1+y2+x1=y1x2+y2x1y1+y2=k(x1-2)x2+k(x2-2)x1k(x1+x2)-4k=2x1x2-2(x1+x2)x1+x2-4=28k2-22k2+1-28k22k2+18k22k2+1-4=1,即在k20.设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-1)1+4k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.直线OP,l,OQ的斜率成等比数列,k2=y2x2y1x1=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2,整理得km(x1+x2)+m2=0,-8k2m21+4k2+m2=0,又m0,所以k2=14,结合图像(图略)可知k=-12,故直线l的斜率为定值.4.解 (1)设椭圆C的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn),椭圆C过点A,所以4m+n=1.将y=x+3代入椭圆方程化简得(m+n)x2+6nx+9n-1=0.因为直线l与椭圆C相切,所以=(6n)2-4(m+n)(9n-1)=0,解可得m=16,n=13.所以椭圆的标准方程为x26+y23=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则有Mx1+22,y1+12,Nx2+22,y2+12.由题意可知PQMN,所以kPQ=kMN=1.设直线PQ的方程为y=x+t(-3t0,所以x1+x2=-4t3,x1x2=2t2-63,kOM+kON=y1+1x1+2+y2+1x2+2=x1+t+1x1+2+x2+t+1x2+2,通分后可变形得到kOM+kON=2x1x2+(t+3)(x1+x2)+4t+4x1x2+2(x1+x2)+4,将式代入得kOM+kON=2(2t2-6)+(t+3)(-4t)+12t+122t2-6+2(-t)+12=02t2-8t+6=0.当t=0时,直线PQ的方程为y=x,易得P(2,2),Q(-2,-2),则M2+22,1+22,N2-22,1-22,所以kOM+kON=1+22+2+1-22-2=0.所以OM,ON斜率之和为定值0.5.解 (1)由y2=4x的焦点为(1,0)可知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),又点M-1,22在椭圆上,所以1a2+12b2=1,a2=b2+c2,c=1,解得a2=2,b2=1,所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)由题意可设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由x22+y2=1,y=k(x-1),消去y,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-21+2k2.所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=22(1+k2)1+2k2.设直线MN的方程为y-22=k(x+1),M(x3,y3),N(x4,y4),由x22+y2=1,y-22=k(x+1),消去y,得(1+2k2)x2+(4k2+22k)x+(2k2+22k-1)=0,因为x3=-1,所以x4=-2k2+22k-11+2k2,|MN|=1+k2|x3-x4|=1+k2|22k-2|1+2k2.因为四边形MNBA为平行四边形,所以|AB|=|MN|,即22(1+k2)1+2k2=1+k2|22k-2|1+2k2,k=-24,但是,直线l的方程y=-24(x-1),即x+22y-1=0过点M-1,22,即直线AB与直线MN重合,不符合题意,所以直线l不存在.6.解 (1)由题意,知F1(-3,0),F2(3,0),根据椭圆定义得|MF1|+|MF2|=2a,所以2a=(3+3)2+(12-0)2+(3-3)2+(12-0)2=4,所以a2=4,b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)|OA|2+|OB|2为定值.设直线AB:y=kx+m(km0),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+m,x24+y2=1,消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4