线性代数同济大学第五章自测练习题解.pptx

,1. 若n阶非奇异矩阵 A的各行元素之和均为常数a，则矩阵( A2)1有一特征值为( C,1,第五章 自测练习题解 一单项选择题,1 2,).,(A) 2a2 ；,(B)2a2 ；,(C)2a2；,(D)2a2 .,A ),2. 若 为四阶矩阵 A的特征多项式的三重根，则 A对应于 的特征向量最多有( 个线性无关.,(A) 3 个；,(B) 1 个；,(C) 2 个；,(D) 4 个.,3. 设 是矩阵 A对应于其特征值 的特征向量，则矩阵 P1AP对应于 的特征向量为,(,A ).,(A)P1 ；,(B)P ；,(C)PT ；,(D) .,4. 若 A为n阶实对称矩阵，且二次型 f (x1,x2,xn) xT Ax正定，则下列结论不正确的是 ( D ). (A) A的特征值全为正；(B) A的一切顺序主子式全为正； (C) A的主对角线上的元素全为正； (D)对一切n维列向量x，xT Ax全为正. 5. 设 A,B为n阶矩阵，那么( B ). (A) 若 A,B合同，则 A,B相似；(B) 若 A,B相似，则 A,B等价； (C) 若 A,B等价，则 A,B合同；(D) 若 A,B相似，则 A,B合同. 二. 填空题,1. 若 A为正定矩阵，且 AT A E ，则 A ,1,., , 2. 已知 A 0 1 1 的伴随矩阵 A有一特征值为 2，则 0 0 x,x ,-1 或-2,1 0 0 1 4. n阶方阵 A的特征值均非负，且 A2 E ，则其特征值必为 1 .,5. 二次型 f (x1,x2,x3,x4) 2x1x2 ax3x4的秩为2，则a ,0,.,4 2 5, , 1时 特征向量P1 1 ， 0时 特征向量P2 ,1,1,三. 判断题（正确打 V，错误打）,1若 Annxn1 2xn1，则2是 Ann的一个特征值. ( ,),2实对称矩阵 A的非零特征值的个数等于它的秩. ( V ) 3二次型 f (x1,x2,xn) xT Ax在正交变换x Py下一定化为标准形.( V ) 4. 若1, 2, k 线性无关且都是 A的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后,仍为 A的特征向量.,( ,),), ,5已知 A为n阶矩阵， x为n维列向量，如果 A不对称，则xT Ax不是二次型. ( 四. 求矩阵 A 6 4 9 的特征值与特征向量. 5 3 7,6 5,2,6 5,2,4 1 (1 )2 1 3,1 ,4 , 9 7 ,4 3, 5,4 ,解： A E ,1 ,T, ,3 2, 1 2, , ,五. 若矩阵 A满足 A2 3A 2E O，证明 A的特征值只能是1或2. 2 0 0 1 0 0 六. 证明 A 0 0 1与B 0 1 0相似. 0 1 0 0 6 2 提示： A与B的特征值都为 1，2，1 七. 设 A x 1 y与对角阵相似，求 x和 y 应满足的条件. （答： x y ） 1 0 0 八. 已知 A为实对称可逆矩阵，证明二次型 f (x1,x2,xn) xT Ax与 二次型g(x1,x2,xn) xT A1x 具有相同的规范型. 提示：即要证明 A与A1是合同关系即可！ A AT, AA1 E AT A1 E AT A1A A 2,1,3,九求 A 1nn 的特征值与特征向量. （参见第三节的教案思考题： A的特征值: n， 0） 十已知a 0，且二次型 f (x1,x2,x3) 2x1 2 3x2 2 3x3 2 2ax2x3通过正 交变换化成标准形 f