模糊数学-模糊集的基本运算.ppt

第二讲 模糊集的 基本运算,2.1 模糊集的表示方法,如前所述, 模糊集合本质上是论域X到0, 1的函数, 因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外, 还有以下的表示方法： 1. 序偶表示法 A=(x, A(x)|xX. 例如: 用集合X=x1, x2, x3, x4表示某学生宿舍中的四位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则以此评价构成的模糊集合A记为: A=(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56).,2.1 模糊集的表示方法,2. 向量表示法 当论域X=x1, x2, , xn时, X上的模糊集A可表示为向量A=(A(x1), A(x2), ,A(xn). 前述的模糊集“帅哥”A可记为: A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). 这种向量的第个分量都在0与1之间A(xi)0,1,称之为模糊向量。 3. Zadeh表示法 当论域X为有限集x1, x2, , xn时, X上的一个模糊集合可表示为 A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+ +A(xn)/xn.,2.1 模糊集的表示方法,前述的模糊集“帅哥”A可记为: A=0.55/x1+0.78/x2+0.91/x3+0.56/x4. 注意, 这里仅仅是借用了算术符号+和/, 并不表示分式求和运算, 而只是描述A中有哪些元素,以及各个元素的隶属度值。 还可使用形式上 符号, 从而可用这种方法表示论域为有限集合或可列集合的模糊集。比如,2.1 模糊集的表示方法,此外, Zadeh还可使用积分符号表示模糊集, 这种表示法适合于任何种类的论域, 特别是无限论域中的模糊集合的描述。与符号相同, 这里的仅仅是一种符号表示, 并不意味着积分运算。对于任意论域X中的模糊集合A可记为:,2.1 模糊集的表示方法,模糊集“年轻”A可表示为,2.1 模糊集的表示方法,注意：当论域明确的情况下, 在序偶和Zadeh表示法中, 隶属度为0的项可以不写出。而在向量表示法中, 应该写出全部分量。 例如, 论域X为1到10的所有正整数, 模糊集“几个”A可表示为：,2.2 模糊集上的运算(定义),1. 几点说明 如前所述, 经典集合可用特征函数完全刻画, 因而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只取0, 1两个值的模糊集)。 设X为非空论域, X上的全体模糊集记作F(X). 于是, P(X)F(X), 这里P(X)为X的幂集(即X的全体子集构成的集合). 特别地, 空集的隶属函数恒为0, 集X的隶属函数恒为1, 即、X都是X上的模糊集。,2.2 模糊集上的运算(定义),2. 模糊集的包含关系 首先考查经典集合包含关系的特征。 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 AB当且仅当属于A的元素都属于B. 易证AB当且仅当对任意xX有A(x) B(x).,2.2 模糊集上的运算(定义),设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 称A包含于B(记作AB), 如果对任意xX有A(x) B(x). 这时也称A为B的子集。,2.2 模糊集上的运算(定义),例, 论域X=x1, x2, x3, x4时, X上的模糊集A为: A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). X上的模糊集B为: B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37). 则根据定义有BA.,帅哥,超男,论域X上的模糊集A与B称为是相等的, 如果AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).,2.2 模糊集上的运算(定义),3. 模糊集的并 首先考查经典集合的并。 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 AB=xX| xA或xB. 易证AB(x)=maxA(x), B(x)=A(x)B(x).,2.2 模糊集上的运算(定义),设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 A与B的并(记作AB)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 (AB)(x)=maxA(x), B(x)=A(x)B(x), xX.,(AB)(x),2.2 模糊集上的运算(定义),4. 模糊集的交 非空论域X上的两个模糊集合A与B的交(记作AB)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 (AB)(x)=minA(x), B(x)=A(x)B(x), xX.,(AB)(x),2.2 模糊集上的运算(定义),5. 模糊集的补 非空论域X上的一个模糊集合A的补(记作A或AC)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 A(x)=1A(x), xX.,2.2 模糊集上的运算(定义),注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情形, 即对任意指标集I, 若Ai是X上的模糊集, iI. 则模糊集的(任意)并、(任意)交定义为:,2.2 模糊集上的运算(定义),例 设论域X=x1, x2, x3, x4为一个4人集合, X上的模糊集合A表示“高个子”: A= (x1, 0.6), (x2, 0.5), (x3, 1) , (x4, 0.4) . 模糊集合B表示“胖子”: B= (x1, 0.5), (x2, 0.6), (x3, 0.3) , (x4, 0.4) . 则模糊集合“高或胖”为: AB=(x1,0.60.5),(x2,0.50.6),(x3,10.3), (x4, 0.40.4)=(x1, 0.6), (x2, 0.6), (x3, 1), (x4, 0.4). 模糊集合“又高又胖”为: AB=(x1, 0.5), (x2, 0.5), (x3, 0.3), (x4, 0.4). 模糊集合“个子不高”为: A =(x1, 0.4), (x2, 0.5), (x3, 0), (x4, 0.6).,2.3 模糊集的运算性质,1. 经典集合的运算性质 经典集合关于并、交、补运算具有以下性质: 定理2.3.1 设X为论域, A, B, C为X上的经典集合, 则 (1) 幂等律: AA=A, AA=A; (2) 交换律: AB=BA, AB=BA; (3) 结合律: (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); (4) 吸收律: A(AB)=A, A(AB)=A; (5) 分配律: A(BC)= (AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC);,2.3 模糊集的运算性质,(6) 对合律(复原律): (A)=A; (7) 两极律(同一律): AX=A, AX=X, A=, A=A; (8) De Morgan对偶律: (AB)=AB, (AB)=AB; (9) 排中律(互补律): AA=X, AA=. 注：满足上述前四条规律的代数系统称为格(可诱导出一个序ABAB=AAB=B), 满足以上9条性质的代数系统称为布尔代数(Boolean algebra, 即“有补的有界分配格”. 其中, 对合律、De Morgan对偶律可由其它条件导出).,2.3 模糊集的运算性质,2. 模糊集合的运算性质 模糊集合关于并、交、补运算具有以下性质: 定理2.3.2 设X为论域, A, B, C为X上的模糊集合, 则 (1) 幂等律: AA=A, AA=A; (2) 交换律: AB=BA, AB=BA; (3) 结合律: (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); (4) 吸收律: A(AB)=A, A(AB)=A; (5) 分配律: A(BC)= (AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC);,2.3 模糊集的运算性质,(6) 对合律(复原律): (A)=A; (7) 两极律(同一律): AX=A, AX=X, A=, A=A; (8) De Morgan对偶律: (AB)=AB, (AB)=AB. 注：模糊集中互补律不成立(参见下面的反例). 满足以上8条性质的代数系统称为De Margan代数, 也称为软代数(soft algebra). 反例 设论域X=a, b上的模糊集A=(a, 0.6), (b, 0.3). 则A=(a,0.4),(b,0.7). 从而AA=(a,0.6), (b, 0.7)X, AA=(a, 0.4), (b, 0.3).,2.3 模糊集的运算性质,证明De Morgan对偶律: 对任意xX, 由于 (AB)(x)=1(AB)(x) = 1(A(x)B(x) = (1A(x)(1B(x) =A(x)B(x) =(AB)(x). 所以(AB)=AB. 同理可证(AB)=AB.,2.4 L型模糊集,本节把模糊集合的隶属度取值范围推广到一般格上, 并研究这类广义模糊集合及其性质。 1. 偏序集与格 定义2.4.1 称(P, )为偏序集, 若P上的二元关系满足以下三个条件: (1) 自反性: aP, a a; (2) 反对称性: a b且b a a = b; (3) 传递性: a b且b c a c. 对于偏序集(P, ), 如果对于任意a, bP总有ab或ba成立, 则称P为线性序集或全序集。,2.4 L型模糊集,设(P, )为偏序集, 若存在aP使得对任意bP都有ab, 则称a为P的最小元。若存在aP使得对任意bP都有ba, 则称a为P的最大元。 易知, 如果偏序集有最小元或最大元, 则最小元或最大元是惟一的。为此, 记0为最小元素, 1为最大元素。 设(P, )为偏序集, XP, 若存在aP使得对任意xX都有xa, 则称a为X的上界。如果X的上界集合有最小元素, 则称它为X的最小上界或上确界, 记为supX或X. 对偶地, 可以定义下界、最大下界或下确界(记为infX或X)。,2.4 L型模糊集,定义2.4.2 偏序集 (L, )称为格, 如果a, bP, 上确界ab与下确界ab都存在。 任意子集都有上、下确界的格称为完备格。 上、下确界运算满足分配律的格称为分配格, 这里分配律指有限分配律。 定理2.4.3 设(L, )为格, 则上、下确界运算满足: (1) 幂等律: aa=a, aa=a; (2) 交换律: ab=ba, ab=ba; (3) 结合律: (ab)c=a(bc), (ab)c=a(bc); (4) 吸收律: a(ab)=a, a(ab)=a.,2.4 L型模糊集,定理2.4.4 设代数系统(L,)中的二元运算,满足: 幂等律: aa=a, aa=a; 交换律: ab=ba, ab=ba; 结合律: (ab)c=a(bc), (ab)c=a(bc); 吸收律: a(ab)=a, a(ab)=a. 则: (1) ab=a ab=b; (2) 在L中定义二元关系如下a b ab=a. 那么 (L, )是格, 且,正好是这个格(L, )的上、下确界运算。,2.4 L型模糊集,2. Boole代数与De Morgan代数 定义2.4.5 设L是有界分配格, 0, 1分别是其最大元和最小元。对任意aL, 若存在aL使得aa=1, aa=0, 则称L为布尔代数。 定义2.4.6 设P是偏序集, h:PP是映射。如果当ab时恒有h(a)h(b), 则称h为保序映射。如果当ab时恒有h(b)h(a), 则称h为逆序映射。如果逆序映射h满足对合律h(h(a)=a, 则h称为逆序对合对应或逆合映射, 也称h为伪补。,2.4 L型模糊集,定义2.4.7 设L是有界分配格, h:LL是L上的一元运算且满足 (1) h(h(a)=a, (2) h(ab)=h(a)h(b), h(ab)=h(a)h(b). 则称L为De Morgan代数。 易知De Morgan代数中h是逆合映射。 设X为非空集合, 则幂集格(P(X), , c)为布尔代数, 而X上的模糊集全体构成的格(F(X), , c)为De Morgan代数。 任一布尔代数都是De Morgan代数, 反之不真。,2.4 L型模糊集,3. L型模糊集及其运算 定义2.4.8 设X为论域(经典集合), L是一个有逆合映射(伪补)h的格。则映射A:XL称为集合X上的L型模糊集合。 记FL(X)=A|A:XL为L型模糊集合. 设A, BFL(X), 若xX有A(x)B(x), 则称A含于B, 记为AB. 易知(FL(X), )为偏序集。 可分别定义并、交、补如下: (AB)(x)=A(x)B(x), (AB)(x)=A(x)B(x)。 Ac(x)=h(A(x).,2.4 L型模糊集,容易验证：如果L是分配格(完备格), 则FL(X)也是分配格(完备格)。如果L是De Morgan代数, 则FL(X)也De Morgan代数。 例 设L=a,b|ab, a, b0,1. a, b, c, dL, 规定a, bc, d ac, bd. 则L是完备格, 且如下定义的映射 h: LL, h(a, b)=1b, 1a 是L上的伪补。于是, A:XL是L型模糊集, 这种模糊集在区间分析中是十分有用的。,2.5 描述模糊概念的其它方法,1. 高型模糊集 前述的模糊集, 是论域X到0, 1的映射, 对任意xX 其隶属度A(x)是一个确定的值。这是普通模糊集的概念。然而, 大量的模糊现象仅用普通模糊集去描述是不够的。 实际问题中, 很难用一个确切的数值来表达一个对象隶属于一个模糊概念的程度, 常常仍用一个模糊的概念来估计这个隶属度。 比如, 我们常用这样的模糊术语来评价一个人的年轻程度: 相当年轻、比较年轻、中等年轻、有点年轻、不算年轻等。,2.5 描述模糊概念的其它方法,注意, 相当年轻、比较年轻、中等年轻、有点年轻、不算年轻等, 它们实际上又是0, 1上的模糊集! 比如, 对于相当年轻、中等年轻可以用以下的普通模糊集来表示(可以说“九成”年轻属于“相当年轻”的程度是0.8, “四成”年轻属于“中等年轻”的程度是0.6):,2.5 描述模糊概念的其它方法,为了表达隶属函数可取0, 1上的模糊集的情况, Zadeh在1975年的如下论文中引入二型、高型模糊集的概念： L. A. Zadeh, The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning I, Information Sciences, 8(1975), 3: 199-251. 定义 一个模糊集合是n型的, n=2,3, 若它的隶属函数的值取于n1型模糊集合上, 一型模糊集合的隶属函数的值取于区间0, 1上。 引入二型、高型模糊集的另一个原因是表达语言真值, 如真、十分真、很真、有点真等。,2.5 描述模糊概念的其它方法,美国学者J. M. Mendel系统研究了2-型模糊集(Type-2 Fuzzy Sets)及其在模糊推理中的应用, 出版了如下专著: Jerry M. Mendel, Uncertain Rule-Based Fuzzy Logic Systems: Introduction and New Directions, Prentice Hall, 2001. 下面简要介绍Mendel关于2-型模糊集的论述, 依据于下述论文: Jerry M. Mendel and Robert I. Bob John, Type-2 Fuzzy Sets Made Simple, IEEE Transactions on Fuzzy Systems, Vol. 10 (2002), No. 2: 117-127.,/mendel/,见Nilesh N. Karnik, Jerry M. Mendel, Operations on type-2 fuzzy sets, Fuzzy Sets and Systems 122 (2001) 327348. 上图是二型模糊集的一种轨迹表示方法, 轨迹的有无表示主隶属度的域值范围, 轨迹的浓度表示次隶属度的大小。下图表示二型模糊集在x=4时的次隶属度函数。,2.5 描述模糊概念的其它方法,2. 区间值模糊集 如前所述, 许多情况下很难用一个确切的数值来表达一个对象隶属于一个模糊概念的程度。经验告诉我们, 用一个数值范围来描述某点对一个模糊概念的相关程度会相对容易一些, 这就产生了区间值模糊集。 早在1975年区间值模糊集就被不同学者引入, 这里介绍我国学者在下述论文中的论述： 吴望名, 区间值模糊集和区间值模糊推理, 模糊系统与数学, Vol.6(1992), No.2: 38-48.,2.5 描述模糊概念的其它方法,2.5 描述模糊概念的其它方法,3. 直觉模糊集 直觉模糊集是1986年保加利亚(Bulgaria)学者在下述论文中引入的: Krassimir T. Atanassov, Intuitionistic fuzzy sets, Fuzzy Sets and Systems, Vol. 20 (1986), No.1: 87-96. 定义 设X是一个非空经典集合, X上形如 A= x, A(x), A(x) | xX 的三重组称为X上的一个直觉模糊集, 其中函数A:X0, 1和函数A:X0, 1分别表示X的元素属于A的隶属度和非隶属度且满足0A(x)+ A(x)1. 用IFS(X)表示X上直觉模糊集的全体.,2.5 描述模糊概念的其它方法,4. Flou集 Flou(来自法语, 相当于英语Fuzzy)集来自于Yves Gentilhomme 1968年对自然语言(法语)词汇的某些语言学方面的考虑(词干、前缀、后缀)。Gentilhomme将论域分作三类：第一类是中心元素类, 即这些元素一定满足某种属性；第二类是同边元素, 即可疑元素；第三类是非元素, 即一定不满足所给的属性。 定义 一个论域X上的一个Flou集是X的一个子集对(E, F), 其中EF, E叫做确定区域, F叫做最大区域, FE叫做Flou区域。,2.5 描述模糊概念的其它方法,例 令X=0, 300表示一个人的身高以厘米为单位区域, 高个子这一类人就可以用Flou集来表示, 比如(180, 300, 160, 300).,2.6 Rough集理论简介,粗糙集(Rough Set) 理论是波兰数学家Zdzislaw. Pawlak于1982年提出的, 是一种新的处理含糊性和不确定性问题的数学工具。粗糙集把那些无法确认的个体都归属于边界区域, 而这种边界区域被定义为上近似集和下近似集之差集。 相对于概率统计、模糊集等处理不确定性的数学工具而言, 粗糙集理论有其独特的优越性。统计学需要概率分布, 模糊集理论需要隶属函数, 而粗糙集不需要关于数据的任何预备的或额外的信息, 它有确定的数学公式描述, 完全由数据决定, 所以更有客观性 。,2.6 Rough集理论简介,由于粗糙集理论有前述的优势, 因而自提出以来,许多计算机科学家和数学家对粗糙集理论及其应用进行了坚持不懈的研究, 使之在理论上日趋完善,特别是由于20世纪80年代末和90年代初在知识发现等领域得到了成功的应用而越来越受到国际上的广泛关注。 1991年波兰Pawlak教授的第一本关于粗糙集的专著和1992年R.Slowinski主编的关于粗糙集应用及其与相关方法比较研究的论文集的出版, 推动了国际上对粗糙集理论与应用的深入研究。,2.6 Rough集理论简介,1992年在波兰Kiekrz召开了第1届国际粗糙集讨论会。从此每年召开一次与粗糙集理论为主题的国际研讨会。 1995年ACM Communication将粗糙集列为新浮现的计算机科学的研究课题。目前, 粗糙集理论已成为信息科学最活跃的研究领域。 Rough集理论已成功应用于知识发现、机器学习、决策支持、模式识别、专家系统、归纳推理等领域。还广泛应用于医学、化学、材料学、地理学、管理科学和金融等其它学科 。,2.6 Rough集理论简介,Zdzislaw Pawlak Born in 1926 in Lodz (Poland). He obtained his MSc in 1951 in electronics from the Warsaw University of Technology, Ph.D. in 1958 in the theory of computation from the Polish Academy of Sciences.,2.6 Rough集理论简介,定义 设U是对象集(论域), R是U上的等价关系. (1) 称(U, R)为近似空间, 由(U, R)产生的等价类为U/R=xi|xiU, 其中xi=xj|(xi, xj )R. (2) 对于任意的XU, 记,分别称为X的下近似和上近似。 (3) 如果X的下近似和上近似相等, 则称X是可定义的集合, 否则称X为粗糙集。,2.6 Rough集理论简介,容易证明,2.6 Rough集理论简介,人工智能最主要的目的是, 为人类的某些智能行为建立适当的形式化模型, 以便利用计算机能再显人的智能的部分功能。什么是人类的最主要的智能, 或者说智能的最重要表现形式是什么？各家有不同的