几个常用函数的导数.ppt

1.2.1 几个常用函数的导数,不能依交点是一个来定切线,一、复习：,（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,3.求切线方程有几个步骤？,无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。,二、新课：几个常用函数的导数:,见书P13,答：（1）2、3、4,(2)y=4x最快,y=2x最慢,（3）与k有关,见书P14,分子有理化,例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点， (1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。 (2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。 (3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。,例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点， (1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。 (2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。 (3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。,例 2：求曲线 y=x3+3x2-5 过点 M(1, -1) 的切线方程.,解: 由 y=x3+3x2-5 知 y=3x2+6x,设切点为 P(x0, y0), 则,y | x=x0=3x02+6x0,曲线在点 P 处的切线方程为,y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).,又切线过点 M(1, -1),-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),即 y0=3x03+3x02-6x0-1.,而点 P(x0, y0)在曲线上, 满足 y0=x03+3x02-5,x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1.,整理得 x03-3x0+2=0.,解得 x0=1 或 x0=2.,切点为 P(1, -1) 或 P(-2, -1).,故所求的切线方程为 9x-y-10=0 或 y=-1.,例3：已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式.,解: f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0),a=-8.,f(x)=2x3-8x.,f(x)=6x2-8.,g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),4b+c=0.,又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,b=4.,c=-16.,g(x)=4x2-16.,综上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.,练习 1：如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点坐标与切线方程.,解: 切线与直线 y=4x+3 平行,切线斜率为 4.,又切线在 x0 处斜率为 y | x=x0,3x02+1=4.,x0=1.,当 x0=1 时, y0=-8;,当 x0=-1 时, y0=-12.,切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12).,切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.,=(x3+x-10) | x=x0,=3x02+1.,练习 2：已知曲线 S: y=x3-6x2-x+6. (1)求 S 上斜率最小的切线方程; (2)证明: S 关于切点对称.,(1)解: 由已知 y=3x2-12x-1,当 x=2 时, y 最小, 最小值为 -13.,S 上斜率最小的切线的斜率为 -13, 切点为 (2, -12).,切线方程为 y+12=-13(x-2),即 13x+y-14=0.,(2)证: 设 (x0, y0)S, (x, y) 是 (x0, y0) 关于 (2, -12) 的对称点,则 x0=4-x, y0=-24-y.,(x0, y0)S,-24-y=(4-x)3-6(4-x)2-(4-x )+6.,整理得 y=x3-6x2-x+6.,(x, y)S.,曲