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六方最紧密堆积结构的空间利用率,在六面体的上表面，短对角线与相邻两边构成了一个等边三角形，边长为a。这个等边三角形与体内球相切，4个球的中心连成了一个边长为a的正四面体，这个正四面体的高为：(2/3)1/2a。平行六面体的高度即为2(2/3)1/2a。,第一章,如果球的半径为 r，则 a = 2r。平行六面体的体积为,两个圆球的体积为,故空间利用率为VB/V = 74%。这是理论上圆球紧密堆积所能达到的最大堆积密度。,可以证明：立方最紧密堆积结构的空间利用率也是 74%。(证明过程留作课外作业自己完成) 在各类晶体结构中，六方最紧密堆积和立方最紧密堆积是空间利用率最高的两种结构。,体心立方堆积，空间利用率为 68%。,简单立方堆积，空间利用率为 52%。,小结一下,六方最紧密堆积的晶体结构图形与空间点阵图形是不一样的，而三种立方堆积的晶体结构图形与空间点阵图形则是一样的 六方最紧密堆积结构的基元由两个圆球构成，是导致晶体结构与空间点阵图形不一样的原因 三种立方堆积中的基元均由一个圆球构成，因此晶体结构图形与空间点阵图形是一样的,7 大晶系,根据相应的平行六面体的几个特征，14 种布拉维格子可以分为 7 类，称为 7 大晶系。这 7 大晶系按对称程度增加的次序分别为：,三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、三方晶系、四方晶系、六方晶系、立方晶系。,7 大晶系的几何特征,(1) 立方晶系：a = b = c; = = = 90,(2) 四方晶系：a = b c; = = = 90,(3) 正交晶系：a b c; = = = 90,(4) 单斜晶系：a b c; = = 90； 90,(5) 三斜晶系：a b c; 90,(6) 六方晶系：a = b c; = = 90; = 120,(7) 三方晶系：a = b = c; = = 90,有 4 条 3 次旋转轴或 3 次倒转轴,唯一的 6 次旋转轴或 6 次倒转轴,唯一的 4 次旋转轴或 4 次倒转轴,唯一的 3 次旋转轴或 3 次倒转轴,有 3 个 2 次旋转轴或 2 次倒转轴,唯一的 2 次旋转轴或 2 次倒转轴,只有 1 次旋转轴或1 次倒转轴,(1) 立方格子 3 个：简单、体心、面心 (2) 四方格子 2 个：简单、体心 (3) 正交格子 4 个：简单、体心、底心、面心 (4) 单斜格子 2 个：简单、底心 (5) 三斜格子 1 个：简单 (6) 六方格子 1 个：简单 (7) 三方格子 1 个：简单,14 种布拉维格子,习 题,试作图分析为什么不存在有面心四方格子和底心立方格子。说明你的分析并不违背划分布拉维格子的四条基本原则。,习 题,7 大晶系都有各自的基本对称要素 对称轴。试给出各晶系所含有的最高次对称轴所在晶向的米勒指数。 画出一个面心立方布拉维格子，标出其中的 111、121 及 晶向。,习 题,等大球体六方最紧密堆积结构中，密堆方向是哪个晶向？密堆面是哪个面？试作图表示之。 等大球体立方最紧密堆积结构中，密堆方向是哪个晶向？密堆面是哪个面？试作图表示之。 找出面心立方格子中的一些对称面，写出其晶面米勒指数。,习 题,1、金属晶体的形成是因为晶体中存在 （ ） A.金属离子间的相互作用 B金属原子间的相互作用 C.金属离子与自由电子间的相互作用 D.金属原子与自由电子间的相互作用,C,第二章,2金属能导电的原因是（ ） A.金属晶体中金属阳离子与自由电子间的 相互作用较弱 B金属晶体中的自由电子在外加电场作用下可发生定向移动 C金属晶体中的金属阳离子在外加电场作用下可发生定向移动 D金属晶体在外加电场作用下可失去电子,B,Fe和CsCl晶体的结构类型和空间点阵型式一致么？为什么？,思考,金属晶体的有效原子半径一般可以借助于 X 射线衍射分析确定晶体的结构并测定晶体的晶格常数而加以确定。,例如，金属铝的晶格常数为 a = b = c = 0.40496 nm，具有A1结构 (面心立方)。,面心立方结构,可以得到铝的原子半径为,简单六方结构,在晶格常数的测量不是很方便的情况下，也可以通过测定金属晶体的密度来估算金属原子的半径。,例如金属钨 (W) 的晶体具有体心立方结构；通过实验测得钨晶体的密度为 19.30 g/cm3，而钨的原子量为 183.9。根据这些信息就可以通过简单的计算得到钨原子的金属半径。,首先可以算出在一个体心立方晶胞中钨原子的质量W。1 个晶胞中含有 2 个钨原子，因此有,然后根据晶体的密度计算出晶胞体积 V：,进而得到晶胞常数,最后得到原子半径,R = 0.137 nm,习 题,纯铁在912C 由bcc 结构转变为fcc结构，体积减少1.06%，根据fcc 形态的原子半径计算bcc 形态的原子半径。它们的相对变化为多少?如果假定转变前后原子半径不变，计算转变后的体积变化。这些结果说明了什么?,设bcc 结构的点阵常数为ab，fcc 结构的点阵常数为af，由bcc 结构转变为fcc 结构时体积减少1.06%，因bcc 晶胞含2 个原子，fcc 晶胞4 个原子，所以2 个bcc 晶胞转变为一个fcc 晶胞。故,bcc 原子半径rb =3ab / 4 ，fcc 原子半径rf = 2a f /4 ，把上面计算的af 和ab 的关系代入，并以rf 表示rb：,它们的相对变化为,如果假定转变前后原子半径不变，转变后的体积变化为,从上面计算的结果看出，如果转变前后的原子半径不变，则转变后的体积变化很大，和实际测得的结果不符，也和金属键的性质不符。同一种金属，不同结构的原子半径应该改变，尽量使其体积变化最少。,习 题,MgO 具有 NaCl 结构。O2的半径为 0.140 nm，Mg2+的半径为0.070 nm。试计算： (1) 圆球形 Mg2+所占据的空间体积分数；(2) MgO 的密度。,因正负电荷数要中和，所以负离子电价要等于它周围每个正离子分给它的电价之和。 例：MgO晶体，NaCl型结构， Mg2+，CN=6，S=2/6=1/3，即Mg2+给每个周围O2-1/3价，因为O2-与6个Mg2+形成静电价，所以,习 题,以萤石 (CaF2) 晶胞为例，说明面心立方紧密堆积中的八面体和四面体空隙的位置和数量。 计算萤石 (CaF2) 晶体的理论密度。,根据Pauling第一规则 r+/r- = 0.744 0.732 CN+ = 8 所以Ca2+配位多面体形状是立方体，F-位于顶角，Ca2+位于体心,萤石 (CaF2) 结构,萤石 (CaF2) 结构,根据Pauling第二规则 Ca2+ : S = 2/8 = 1/4 故每个F-必须与4个Ca2+形成静电键 即F-应该位于Ca2+的四面体中,为了便于把CaF2晶体的结构与对称特点显露出来 通常将Ca2+看成“立方紧密堆积” F-占据全部四面体空隙,5种最常见类型离子晶体的空间结构特征,5种最常见类型离子晶体的空间结构特征,因正负电荷数要中和，所以负离子电价要等于它周围每个正离子分给它的电价之和。 例：MgO晶体，NaCl型结构， Mg2+，CN=6，S=2/6=1/3，即Mg2+给每个周围O2-1/3价，因为O2-与6个Mg2+形成静电价，所以,习 题,将一个钠原子从钠晶体内部移到晶体表面所需的能量为 1 ev。试算300 K 下晶体中肖特基缺陷的浓度。,第三章,习 题,1. 光学波频率的最大值和最小值，声学波频率的最大值；,2. 相应声子的能,在一维复式格子中，如果 ， ， ，计算,3.在T=300K下，三种声子数目各为多少？,第四章,特鲁德模型,当金属原子凝聚在一起形成金属时，原来孤立原子封闭壳层内的电子 (芯电子) 仍然能够紧紧地被原子核束缚着，它们和原子核一起在金属中构成不可移动的离子实；而原来孤立原子封闭壳层外的电子 (价电子) 则可以在金属中自由地移动。,第五章,特鲁德模型的基本假设 I,在没有发生碰撞时，电子与电子、电子与离子之间的相互作用可以忽略。在无外场作用时，电子作匀速直线运动；在外场作用下，电子的运动服从牛顿定律。 忽略了电子与电子之间相互作用的近似称为独立电子近似 忽略了电子与离子之间相互作用的近似称为自由电子近似 所以这样假设称为独立自由电子近似,特鲁德模型的基本假设 II,碰撞是电子突然改变速度的瞬时事件，正如硬橡皮球从固定的物体上反弹回来一样，它是由于运动中的电子碰到不可穿透的离子实而反弹所造成的。,运动电子的轨迹,特鲁德模型的基本假设 III,单位时间内电子发生碰撞的几率是 1/。这里的时间 称为驰豫时间 (或平均自由时间)，它意味着一个电子在前后两次碰撞之间平均而言将有 时间的行程。驰豫时间与电子的位置和速度无关。,特鲁德模型的基本假设 IV,电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过碰撞实现的，碰撞前后电子的速度毫无关联，方向是随机的，其速率是和碰撞发生处的温度相适应的。,纯铜的电阻率随温度的变化关系曲线,在低温时，电阻率通常很小 温度升高后，电阻率随温度的变化基本上呈线性：温度越高，电阻率越大 当然，对这一现象的解释不是特鲁德模型能够完成的。,电子运动的薛定锷方程为,(r) 为电子的波函数,E 为电子的动能,我们直接给出这个方程的解,考虑到势箱的深度应该大大超过电子的动能，因此电子在边界以外出现的几率为零。这一边界条件可以写成,于是可以得到：,(n 为整数),相应地，电子的能量可以写成,这时电子的动能与波矢之间仍然呈抛物线关系，但是能量不再是连续的，而是量子化的。电子的最低能态的能量为：,其它能级的能量为：,将上述讨论推广到三维情况,对于一个三维的边界为 L 的立方体金属试样而言，其中自由电子的允许能级可以表示为,波矢在三个方向上的分量,布洛赫函数定理,因为晶体中的电子并非在一个恒定的均匀的势场中运动，而是在由离子晶格点阵所形成的周期势场中运动，因此电子的势能不是常数，而是位置的函数，随晶体的点阵发生周期性的变化。 布洛赫指出：对于含周期性势场的薛定锷方程，周期场中的电子的波函数是一个调幅的平面波，即：,Uk 是一个与波矢 k 有关且随坐标而变化的函数,半导体的性能是由导带中的电子数和价带中的空穴数决定的 电子和空穴可以借助于热、电、磁等形式的能量激发产生，称为本征激发；相应形成本征半导体 电子和空穴也可以借助于引进杂质元素而激发，称为非本征激发；相应形成非本征半导体 (杂质半导体),导 体 纯金属的电阻率在108 107 m 金属合金的电阻率为107 105 m 半导体 电阻率为103 10+5 m 绝缘体 电阻率为10+9 10+17 m,电阻率的大小取决于材料的结构。,kF 是在基态下波矢的最大值，称为费米波矢 以 kF 为半径构筑的 k 空间中的球体称为费米球。在基态下，费米球内的所有状态都被电子占据，而球外的状态则全部未被电子占据,与 kF 相对应的电子动能是基态下电子动能的最大值，称为费米能量。,能带的填充与导电性,所有能级全部被电子所填充的能带称为满带；部分能级被电子填充的能带称为不满带。 在外电场作用下，满带不起导电作用，而不满带则可以导电。 在绝缘体中，电子刚好填满最低的一系列能带，最上面的满带称为价带；再高的各能带全部是空的，称为空带。由于没有不满带，所以尽管晶体中存在有很多电子，却不能导电。,在导体中，除去满带和空带外，存在有不满带。一部分价电子在不满带中，这样的能带称为导带。导带以下的第一个满带称为价带。 在半导体中，0K 下能带的填充情况与绝缘体是相同的，差别仅在于禁带的宽度。由于