天津2020版高考数学复习6.3等比数列精练.docx

6.3等比数列挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.等比数列的有关概念及运算1.理解等比数列的概念2.掌握等比数列的通项公式3.了解等比数列与指数函数的关系4.掌握等比数列的前n项和公式2018天津文,18等比数列的通项公式数列求和的基本方法2.等比数列的性质及应用能利用等比数列的性质解决相应的问题2016天津,5等比数列性质的应用充分必要条件的判断分析解读天津高考对等比数列的考查主要是基本量的运算、an和Sn的关系以及等比数列的性质.对等比数列的定义、通项公式、性质及等比中项的考查,常以选择题、填空题的形式出现,难度较小.对前n项和以及与其他知识(函数、不等式)相结合的考查,多以解答题的形式出现.解决问题时要注意下标之间的关系,并选择适当的公式.破考点【考点集训】考点一等比数列的有关概念及运算1.已知等比数列an中,a1=1,且a4+a5+a8a1+a2+a5=8,那么S5的值是()A.15B.31C.63D.64答案B2.已知等比数列an中,a2=2,a3a4=32,那么a8的值为.答案1283.(2014安徽,12,5分)数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.答案14.(2011北京文,12,5分)在等比数列an中,若a1=12,a4=4,则公比q=;a1+a2+an=.答案2;2n-1-12考点二等比数列的性质及应用5.已知等比数列an的前n项和为Sn,则下列结论一定成立的是()A.若a50,则a20170,则a20180,则S20170D.若a60,则S20180答案C6.已知等比数列an的公比q0,其前n项和为Sn,若a1=1,4a3=a2a4.(1)求公比q和a5的值;(2)求证:Snan0,所以q=2.所以a5=a1q4=16.(2)证法一:因为a1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,nN*,Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1,所以Snan=2n-12n-1=2-12n-1,因为12n-10,所以Snan=2-12n-12.证法二:因为a1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1,所以Snan-2=-12n-10,所以Snan0,可得q=2,故bn=2n-1.所以,Tn=1-2n1-2=2n-1.设等差数列an的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n,所以,Sn=n(n+1)2.(2)由(1),有T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.由Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn可得n(n+1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.所以,n的值为4.考点二等比数列的性质及应用(2016天津,5,5分)设an是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n1,则()A.a1a3,a2a3,a2a4C.a1a4D.a1a3,a2a4答案B2.(2015安徽,14,5分)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于.答案2n-13.(2014广东,13,5分)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+lna20=.答案504.(2017山东,19,12分)已知xn是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列xn的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.解析本题考查等比数列基本量的计算,错位相减法求和.(1)设数列xn的公比为q,由已知知q0.由题意得x1+x1q=3,x1q2-x1q=2.所以3q2-5q-2=0.因为q0,所以q=2,x1=1.因此数列xn的通项公式为xn=2n-1.(2)过P1,P2,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Qn+1.由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,由题意bn=(n+n+1)22n-1=(2n+1)2n-2,所以Tn=b1+b2+bn=32-1+520+721+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2,2Tn=320+521+722+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1.-得-Tn=32-1+(2+22+2n-1)-(2n+1)2n-1=32+2(1-2n-1)1-2-(2n+1)2n-1.所以Tn=(2n-1)2n+12.解题关键记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,以几何图形为背景确定bn的通项公式是关键.方法总结一般地,如果an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.5.(2014课标,17,12分)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明1a1+1a2+1an32.解析(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12.又a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列.an+12=3n2,因此an的通项公式为an=3n-12.(2)证明:由(1)知1an=23n-1.因为当n1时,3n-123n-1,所以13n-1123n-1.于是1a1+1a2+1an1+13+13n-1=321-13n32.所以1a1+1a2+1an0”是“S2019S2018”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案A3.(2018天津宝坻一中模拟,4)设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,则“|q|=1”是“S4=2S2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C4.(2018天津南开中学第三次月考,3)在等比数列an中,若a2=243,a6=3,则a4等于()A.3B.27C.3D.27答案B5.(2019届天津耀华中学统练(2),3)已知等比数列an中,各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,则a8+a9a6+a7等于()A.1+2B.1-2C.3+22D.3-22答案C6.(2019届天津七校联考,5)已知数列an是等比数列,a2=2,a7=64,则当n2时,a1a3+a2a4+an-1an+1=()A.2n-2B.2n+1-2C.4n+1-43D.4n-43答案D7.(2018天津南开中学第五次月考,6)等比数列an的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为8532,偶数项之和为2116,这个等比数列前n项的积为Tn(n2),则Tn的最大值为()A.14B.12C.1D.2答案D8.(2017天津南开中学第四次月考,6)已知数列an的前n项和Sn=n2-n,正项等比数列bn中,b2=a3,bn+3bn-1=4bn2(n2,nN+),则log2bn=()A.nB.2n-1C.n-2D.n-1答案A二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2019届天津蓟州一中月考,11)设Sn为等比数列an的前n项和,a3=8a6,则S4S2的值为.答案5410.(2019届天津河西期中,10)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于.答案2n-1三、解答题(共25分)11.(2017天津十二区县一模,18)已知等比数列an的公比q1,且a1+a3=20,a2=8.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=nan,Sn是数列bn的前n项和,不等式Sn+n2n+1(-1)na对任意正整数n恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)由题意得,a1(1+q2)=20,a1q=8,2q2-5q+2=0,公比q1,a1=4,q=2,an是以4为首项,2为公比的等比数列,数列an的通项公式为an=2n+1(nN*).(2)bn=nan=n2n+1,Sn=122+223+324+n2n+1,12Sn=123+224+n-12n+1+n2n+2.由-得,12Sn=122+123+124+12n+1-n2n+2,Sn=12+122+123+12n-n2n+1=12-12n+112-n2n+1=1-n+22n+1,不等式Sn+n2n+1(-1)na对任意正整数n恒成立,(-1)na1-12n对任意正整数n恒成立,设f(n)=1-12n,nN*,易知f(n)单调递增.n为奇数时,f(n)的最小值为12,-a-12,n为偶数时,f(n)的最小值为34,a34.综上,-12a34,即实数a的取值范围是-12,34.12.(2018天津河东二模,18)已知等比数列an满足条件a2+a4=3(a1+a3),a2n=3an2,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)数列bn满足b1a1+b2a2+bnan=n2,nN*,求bn的前n项和Tn.解析(1)设an的公比为q,则an=a1qn-1,nN*.a2+a4=3(a1+a3),a1q+a1q3=3(a1+a1q2),解得q=3,a2n=3an2,a1q2n-1=3a12q2n-2,即q=3a1,a1=1.数列an的通项公式为an=3n-1.(2)当n=1时,b1=a1=1,当n2时,b1a1+b2a2+bnan=n2,b1a1+b2a2+bn-1an-1=(