2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质学案.docx

第1课时椭圆的简单几何性质1掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质2明确椭圆标准方程中a、b以及c、e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系3能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e(0e1)椭圆离心率的意义当e越接近于1时，c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当ab时，c0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为x2y2a2 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为ac()(3)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆()(4)椭圆1(ab0)的长轴长等于a()答案：(1)(2)(3)(4) 椭圆6x2y26的长轴端点坐标为()A(1，0)，(1，0) B(6，0)，(6，0)C(，0)，(，0) D(0，)，(0，)答案：D 与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是()A1 Bx21Cy21 D1答案：B 设P(m，n)是椭圆1上任意一点，则m的取值范围是_答案：5，5探究点1椭圆的简单几何性质求椭圆4x29y236的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率【解】将椭圆方程变形为1，所以a3，b2，所以c 所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a6，2c2，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(3，0)，A2(3，0)，B1(0，2)，B2(0，2)，离心率e用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式(2)确定焦点位置(3)求出a，b，c(4)写出椭圆的几何性质注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍 1已知椭圆C1：1，C2：1，则()AC1与C2顶点相同 BC1与C2长轴长相同CC1与C2短轴长相同 DC1与C2焦距相等解析：选D由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(2，0)，(0，2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(4，0)，(0，2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4故选D2椭圆1上点P到右焦点的距离的()A最大值为5，最小值为4B最大值为10，最小值为8C最大值为10，最小值为6D最大值为9，最小值为1解析：选D椭圆上的点到右焦点的最大距离为ac，最小距离为ac即最大值为9，最小值为1探究点2利用几何性质求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)短轴长2，离心率e；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6【解】(1)由2b2，e，得b25，a29当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为1综上，所求椭圆的标准方程为1或1(2)依题意可设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，所以cb3，所以a2b2c218，故所求椭圆的方程为1求椭圆标准方程的常用方法(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法(2)根据已知条件“选标准，定参数”其一般步骤为：确定焦点所在的坐标轴；求出a2，b2的值；写出标准方程 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程(1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3；(2)离心率为，经过点(2，0)解：(1)由题意知a5，c3，b225916，焦点所在坐标轴可为x轴，也可为y轴，故椭圆的标准方程为1或1(2)由e，设a2k，ck，k0，则bk又经过的点(2，0)为其顶点，故若点(2，0)为长轴顶点，则a2，b1，椭圆的标准方程为y21；若点(2，0)为短轴顶点，则b2，a4，椭圆的标准方程为1探究点3求椭圆的离心率(2017高考全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A BC D【解析】以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，该圆与直线bxay2ab0相切，所以a，即2b，所以a23b2，因为a2b2c2，所以，所以e【答案】A求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 1已知椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A BC D2解析：选B设c为椭圆的半焦距，由题意知|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac又|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以(2c)2(ac)(ac)a2c2，整理得a25c2所以离心率e2(2018日照高二检测)已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1PF2，则椭圆的离心率的取值范围为_解析：由PF1PF2，知F1PF2是直角三角形，所以|OP|cb，即c2a2c2，所以a c，因为e，0e1，所以e1答案：1椭圆25x29y21的范围为()A|x|5，|y|3 B|x|，|y|C|x|3，|y|5 D|x|，|y|解析：选B椭圆方程可化为1，所以a，b，又焦点在y轴上，所以|x|，|y|故选B2已知椭圆中心在原点，一个焦点为(，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是()Ay21 Bx21Cy21 Dx21解析：选A因为一个焦点为(，0)，所以焦点在x轴上且c又因为长轴长是短轴长的2倍，所以2a22b，a2b，结合a2b2c2解得b1，a2，所以椭圆的标准方程是y21故选A3已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆x2y22x150的半径，则椭圆的标准方程是()A1 By21C1 D1解析：选A圆的方程可化为(x1)2y242，故2a4，即a2，又e，所以c1，b2a2c23又椭圆的焦点在x轴上，所以其标准方程为1，故选A4已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于_解析：根据题意得2b6，ac9或ac9(舍去)又因为a2b2c2，所以a5，c4，故e答案： 知识结构深化拓展1两个常用结论(1)与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆方程为k1(k10，焦点在x轴上)或k2(k20，焦点在y轴上)(2)与椭圆1有相同焦点的椭圆方程为1(kmin(a2，b2)2椭圆的通径过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，通径长等于学生用书P107(单独成册)A基础达标1过椭圆1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A8，6 B4，3C2， D4，2解析：选B过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c1，将x1代入1，得1，解得y2，即y，所以最短弦的长为23故选B2焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()A1 By21C1 Dx21解析：选A依题意，得a2，ac3，故c1，b，故所求椭圆的标准方程是13若椭圆1的离心率为，则实数m等于()A或 BC D或解析：选A若焦点在x轴上，则0m2，所以a2m，b22，所以c2m2因为e，所以，所以，所以m4已知焦点在x轴上的椭圆：y21，过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|1，则该椭圆的离心率为()A BC D解析：选A椭圆的焦点坐标为(，0)，不妨设A，可得1，解得a2，椭圆的离心率为e故选A5已知F1，F2是椭圆1(ab0)的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得F1PF260，则椭圆离心率e的取值范围是()A BC D解析：选C在PF1F2中，设|PF1|m，|PF2|n，则mn2a，根据余弦定理，得(2c)2m2n22mncos 60，配方得(mn)23mn4c2，所以3mn4a24c2，所以4a24c23mn33a2，即a24c2，故e2，解得e1故选C6已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为_解析：由题意知ac3，ac1，解得a2，c1，则b23又焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程为1答案：17与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是_解析：椭圆9x24y236可化为1，因此可设待求椭圆方程为1又b2，故m20，得1答案：18在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点已知点P(a，b)，F1PF2为等腰三角形，则椭圆的离心率e_解析：设F1(c，0)，F2(c，0)(c0)，由题意得|PF2|F1F2|，即2c把b2a2c2代入，整理得210，解得1(舍去)或所以e答案：9求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为解：(1)由题意知，2c8，c4，所以e，所以a8，从而b2a2c248，所以椭圆的标准方程是1(2)由已知所以从而b29，所以所求椭圆的标准方程为1或110已知椭圆1(ab0)的三个顶点B1(0，b)，B2(0，b)，A(a，0)，焦点F(c，0)，且B1FAB2，求椭圆的离心率解：直线B1F的斜率为kB1F，直线AB2的斜率为kAB2因为B1FAB2，所以kB1FkAB21，即1，所以1，所以1，即e1所以e2e10，解得e或e因为0e1，所以e舍去所以椭圆的离心率为B能力提升11若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3C6 D8解析：选C由题意得F(1，0)，设点P(x0，y0)，则y3(2x02)，x0(x01)yxx0yxx0(x02)22，当x02时，取得最大值为612焦点在x轴上，长轴长为20，短轴长为16的椭圆的内接矩形中面积最大的矩形周长为_解析：由题意得a10，b8，设内接矩形ABCD位于第一象限的顶点为A(x0，y0)，则有1，且S矩形ABCD4x0y0由于xyx64x(100x)1 600，当且仅当x100x，即x50时“”成立此时y32，即当x05，y04时，椭圆的内接矩形面积最大，这时内接矩形周长为4(x0y0)36答案：3613已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0)(1)求椭圆E的标准方程；(2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MPMH，求实数t的取值范围解：(1)由题意可得，c1，a2，所以b所以所求椭圆E的标准方程为1(2)设M(x0，y0)(x02)，则1(tx0，y0)，(2x0，y0)，由MPMH可得0，即(tx0)(2x0)y0由消去y0，整理得t(2x0)x2x03因为x02，所以tx0因为2x02，所以2t1所以实数t的取值范围为(2，1)14(选做题)(2018武汉高二检测)如图，已知