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2.5 逆矩阵,使得,即,对于任意非零的数 ,如果存在另一个数 ,,倒数:,则说 是 的倒数.,一、逆矩阵产生的背景,矩阵:,运算中的 1 ,,矩阵 ,,在矩阵的运算中,,单位阵 相当于数的乘法,那么,对于矩阵,是否存在另一个,使得 呢?,二、逆矩阵的概念和性质,例如 设,使得,则说矩阵 是可逆的,,并把矩阵 称为 的一个,逆矩阵,,记作 .,对于 阶矩阵 ,如果存在 阶矩阵 ,,定义2.4.1,注:,2.可逆矩阵与它的逆矩阵是可换的同阶方阵;,3.若 是 的逆矩阵,则 也是 的逆矩阵, 即 、 互逆;,4.若 成立,则 也成立。,1. 不能理解成 ;,事实上,若设 和 都是 的逆矩阵,,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的。,5.若 是可逆矩阵,则 的逆矩阵唯一;,6. 零矩阵不可逆;单位矩阵可逆,且,例1,证明矩阵,证明:,的逆矩阵为,设,例2,证明,解:,例3,可逆,并求它们的逆矩阵.,由,证明,三、可逆矩阵的运算规律:,1.若 可逆,则 也可逆,,2.若 、 是同阶可逆阵,则 也可逆,,且,且,证明:,特别有:,(反序定律),3.若 可逆,则 也可逆,,4.若 可逆,则 也可逆,,且,且,证明:,证明:,5.若 可逆,则,证明:,注: 、 可逆, 不一定可逆。即使可逆, 一般情况下, 不一定成立。,例,或,定义1,四、逆矩阵的存在性,奇异矩阵与非奇异矩阵,设,是奇异矩阵,是非奇异矩阵,定义2,设 为 阶方阵, 的行列式 的元素 的代数余子式 所构成的矩阵的转置矩阵称为矩阵 的伴随矩阵。,记为,解:,逆矩阵的存在定理:,证明,若 可逆,则,矩阵 可逆的充要条件是 非奇异,,且当A可逆时,,必要性:,充分性:,即 ;,由逆矩阵的定义可得,解:,下证注4,证:,即 A 可逆,矩阵乘法的三大特征,(1)无交换律:,(2)无消去律:,(3),不一定,不一定,不一定,例3,设 是非奇异矩阵,且 ,求证:,将 两端同时左乘以 得,证明:由于 非奇异,故 可逆.,即,从而,即消去律成立,若 可逆,若 可逆,分块矩阵的逆矩阵,分块对角矩阵,如果 都可逆,则,伴随矩阵的性质,=,(反序定律),1,1,1,),(,-,-,-,=,A,B,AB,例4,设A的逆矩阵为,求,解:,课堂练习,1.判断矩阵A是否可逆,如果可逆,求其逆矩阵.,
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