[理学]弹性力学教程第二章：平面问题的基本理论.ppt

第二章 弹性力学的基本理论,第二章 弹性力学的基本理论,1 概述,2 平衡微分方程,3 几何方程,4 物理方程,5 边界条件,6 圣维南原理,第二章 弹性力学的基本理论,1 概述,2 平衡微分方程,3 几何方程,4 物理方程,5 边界条件,6 圣维南原理,第二章 弹性力学的基本理论,1 概述,物理分量：,（应力与外力）,（应变与位移）,（应力与应变）,边界条件,第二章 弹性力学的基本理论,1 概述,2 平衡微分方程,3 几何方程,4 物理方程,5 边界条件,6 圣维南原理,2 平衡微分方程,一、平面问题的平衡微分方程,微元体：厚度为1,平面问题的特点： 一切现象都看作是在一个平面内发生的,(2-1),平衡微分方程：,一、平面问题的平衡微分方程,微元体：厚度为1,长：dx，宽：dy,平面问题：,（22）,切应力互等定理:,一、平面问题的平衡微分方程,3个独立分量，两个方程,(2-1),矩阵形式：,(2-3),二、空间问题的平衡微分方程,Navier方程:,(2-4),(2-5),二、空间问题的平衡微分方程,Navier方程:,矩阵形式：,(2-6),(2-4),二、空间问题的平衡微分方程,Navier方程:,矩阵形式：,(2-6),(2-4),1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。 2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。,(2-5),第二章 弹性力学的基本理论,1 概述,2 平衡微分方程,3 几何方程,4 物理方程,5 边界条件,6 圣维南原理,3 几何关系（位移应变）,一、平面问题的几何方程,y 方向上的位移为：,x 方向上的位移为：,x 方向上的位移为：,y 方向上的位移为：,线段MA线应变：,切应变：,一、平面问题的几何方程,线应变：,切应变：,一、平面问题的几何方程,几何方程,(2-9),矩阵形式：,(2-10),3个应变分量、三个方程。,二、空间问题的几何方程,几何方程（Cauchy方程）,(2-11),6个应变分量、六个方程。,二、空间问题的几何方程,矩阵形式：,(2-12),三、刚体位移,几何方程（Cauchy方程）,(2-11),分析几何方程： 1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。 2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。(why?-next film),三、刚体位移,(2-9),1、平面问题,令：,由此得：,：常数,三、刚体位移,所以：,由此得：,只能等于常数,任意常量,(2-13),当应变为零时：位移是刚体位移。,三、刚体位移,1、平面问题,分析刚体位移,任意常量,当,为沿 轴的平动,当,为沿 轴的平动,当,三、刚体位移,分析刚体位移,任意常量,为沿 轴的平动,为沿 轴的平动,当, 物体绕O点的刚体转动,取一点：,1、平面问题,三、刚体位移,2、空间问题,刚体位移,任意常量,（214）,刚体位移是任意的， 的确定与问题的约束条件有关。,第二课 over,三、刚体位移,小结： 物体在变形为零时，可以有刚体位移。可见，当物体发生一定的变形时，由于约束条件的不同，它可能具有不同的刚体位移，因而它的位移并不是完全确定的。（解释了why）,第二章 弹性力学的基本理论,1 概述,2 平衡微分方程,3 几何方程,4 物理方程,5 边界条件,6 圣维南原理,4 物理方程（虎克定律）,一、空间问题,物理方程反映应力分量与应变分量之间的关系。 假定：完全弹性、均匀、各项同性。,(2-15),其中,G：切变模量,一、空间问题,矩阵形式：,（217）,一、空间问题,物理方程的另外一种形式：,体积应力,令：,体积应变, 式改写：,物理方程的另外一种形式：,令：,体积应变,体积应力,式改写成：,求解,一、空间问题,物理方程的另外一种形式：,令：,体积应变,体积应力,：体积模量,一、空间问题,物理方程的另外一种形式：,令：,体积应变,体积应力,（218）,一、空间问题,物理方程的另外一种形式：,矩阵形式：,令：,一、空间问题,物理方程的另外一种形式：,矩阵形式：,（218）,弹性矩阵,一、空间问题,二、平面问题,平面应力问题 平面应变问题,1、平面应力问题:,由（215）式知：,(2-19),(2-20),如已知 、 可求得 、 ， 由 与 确定。,二、平面问题,平面应力问题:,物理方程,(2-19),(2-20),矩阵形式：,（221）,二、平面问题,平面应力问题:,物理方程的另一种形式,(2-22),矩阵形式：,（223）,二、平面问题,平面应力问题 平面应变问题,2、平面应变问题:,由（215）式知：,(2-24),(2-25),（224）和（225）式是平面应变问题的物理方程。,二、平面问题,物理方程的两种形式：,(2-20),(2-25),令：,（227）,（226）,第二章 弹性力学的基本理论,1 概述,2 平衡微分方程,3 几何方程,4 物理方程,5 边界条件,6 圣维南原理,位移边界条件 应力边界条件 混合边界条件,5 边界条件,边界条件：边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式,5 边界条件,一、位移边条,(2-28),其中：,已知位移分量：,未知位移分量：,平面问题,在 上,矩阵形式：,1、平面问题,(2-29),5 边界条件,一、位移边条,边界条件：,(2-30),其中：,未知量和已知量的关系。,在 上,矩阵形式：,2、空间问题,(2-31),5 边界条件,二、应力边条,边界条件：,方向余弦：,未知量和已知量的关系。,已知应力分量：,面积：,1、平面问题,在 上,5 边界条件,二、应力边条,(2-32),已知应力分量：,方向余弦：,面积：,1、平面问题,边界条件：,矩阵形式：,(2-33),5 边界条件,二、应力边条,(2-34),已知应力分量：,2、空间问题,边界条件：,矩阵形式：,(2-35),第二章 弹性力学的基本理论,1 概述,2 平衡微分方程,3 几何方程,4 物理方程,5 边界条件,6 圣维南原理,6 圣维南原理,如果将物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢、主矩相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。,1、利用静力等效力系（P22）,Saint-Venant原理与应力集中示意图,应力分布示意图,变形示意图,第二章 弹性力学的基本理论,6 圣维南原理,2、局部边界用近似边界条件,（c）,（b）,总 结 求解的应力应满足平衡方程和应力边界条件，在空间应力状态有六个未知的应力函数，只有三个平衡方程；在平面应力状态有三个未知的应力函数，只有两个平衡方程，问题是静不定的，需要从变形和物理关系方面补充方程才能求解。 边界条件主要是用来确定解出的应力中的未定常数。,第二章 平面问题的基本理论,2-3 平面问题中一点的应力状态,2-3 平面问题中一点的应力状态,（3）由全应力求斜截面上的正应力和切应力；,本节的基本思路：,（1）画一个三角形微元；,（2）受力平衡导出斜截面上的全应力 ， ；,（4） ， 主应力和主应力方向；,（5）最大与最小切应力；,厚度：,方向余弦：,2-3 平面问题中一点的应力状态,（3）由全应力求斜截面上的正应力和切应力；,方向余弦：,厚度：,（2-4）,（4）由 ，主应力和主应力方向；,2-3 平面问题中一点的应力状态,方向余弦：,厚度：,（2-3）,时，根据平行四边形法则,（2-6）,2-3 平面问题中一点的应力状态,（4）由 导出主应力和主应力方向；,主方向,2-3 平面问题中一点的应力状态,（5）最大与最小切应力；,（1）当 时， 取得最大或最小值； （2）最大最小切应力为： 与主应力的夹角,由（2-5）可以得到,2-8 按位移求解平面问题,第二章 平面问题的基本理论,2-8 按位移求解平面问题,位移法求解平面问题的思路,（2）根据几何方程导出应变分量,（3）根据物理方程导出应力分量,问题：怎样得到 ？,（1）根据 求出位移分量,位移法：按位移求解的方法,2-8 按位移求解平面问题,平衡方程,几何方程,物理方程（平面应力）,应力边界条件：,位移边界条件：,问题：怎样得到 ？,把几何方程带入物理方程消去应变，再带入平衡方程或边界条件消去应力。,平面应变问题：,2-8 按位移求解平面问题,按位移求解平面问题的一般提法（平面应力）,位移边界条件,应力边界条件（平面应力）,基本方程,（2-18）,（2-19）,（2-14）,2-8 按位移求解平面问题,例题：矩形薄板，受力如图，试求应力分量（体力不计）。,解：1）设位移分量,2）将位移分量代入（2-18）式,3）由几何方程求应变分量,4）由物理方程求应力分量,2-8 按位移求解平面问题,解：5）边界条件,满足,例题：矩形薄板，受力如图，试求应力分量（体力不计）。,2-8 按位移求解平面问题,本章作业：2-7；2-8；2-9；2-16；2-17；2-18（书面作业）,本章作业：2-1；2-2；2-3；2-10；2-11；2-12；2-14；2-19 课后思考,第二章 平面问题的基本理论,2-9 按应力求解平面问题,问题：（1）怎样找到方程组 ？ （2）怎样给出合适的边界条件？,2-9 按应力求解平面问题,按应力法求解平面问题的基本思路：,应力法：按应力求解的方法。它是以应力分量为基本未知数的函数（方程？）。,（2）给出合适的边界条件，求解,（1）找到用应力表示的方程组,（3）根据物理方程求出,（4）根据几何方程确定,2-9 按应力求解平面问题,问题：（1）怎样找到方程组 ？,平衡方程,几何方程,物理方程（平面应力）,应力边界条件：,位移边界条件：,Look：平衡方程是由应力表示的方程，但有3个未知数，两个方程，因此要补充一个 方程补充方程？,相容方程表明： 变形分量不独立，因此 的函数形式不能任意选取。,2-9 按应力求解平面问题,问题：怎样找到补充方程？,（1）从几何方程中消去位移分量相容方程,几何方程,2-9 按应力求解平面问题,（2）把物理方程带入相容方程导出补充方程,物理方程（平面应力）,平衡方程,2-9 按应力求解平面问题,2-9 按应力求解平面问题,按应力求解平面问题的一般提法（平面应力）,（2-21）,（2-2）,（2-15）,对于平面应变只需把（2-21）换成（2-22）即可,小结： 1）按应力求解函数解答时，通常只求解全部为应力边条的问题。当问题是位移 边条或混合边条时，因位移分量无法用应力分量表示，故不能得到精确解； 2）按应力求解平面问题时应力分量 必须满足下列条件 a）在区域内的平衡方程（2-2）； b）在区域内的相容方程（2-21）或（2-22）； c）在边界上的应力边界条件（2-15） d）对于多连体，还必须满足位移单值条件。,2-9 按应力求解平面问题,3）当体积力为常数或零时，上述基本方程与材料常数无关。,4）相容方程与几何方程等价。,第二章 平面问题的基本理论,2-10 常体力情况下的简化 应力函数,2-10 常体力情况下的简化 应力函数,按应力求解平面问题的一般提法（平面应力）,（2-21）,（2-2）,（2-15）,对于平面应变只需把（2-21）换成（2-22）即可,2-10 常体力情况下的简化 应力函数,（2-2）,（2-21） （2-22）,（2-23）,（2-15）,（2-2）,讨论：P28下面画线部分,2-10 常体力情况下的简化 应力函数,当体积力为常量时：,由平衡方程,解法：,应力函数,相容方程 边界条件,方程组求解：,通解齐次方程的通解非齐次方程的特解,齐次方程组,方程组求解：,通解齐次方程的通解非齐次方程的特解,设解：,1）平衡方程（非齐次方程）的特解,各组解代入方程均满足,2-10 常体力情况下的简化 应力函数,方程组求解：,通解齐次方程的通解非齐次方程的特解,) 将式变形,2）齐次方程（体积力为零）的通解,设一函数,令,（a）,将（a）式代入式,满足式,2-10 常体力情况下的简化 应力函数,方程组求解：,通解齐次方程的通解非齐次方程的特解,) 将式中变形,2）齐次方程（体积力为零）的通解,设一函数,令,（b）,将（b）式代入式，同样满足式,2-10 常体力情况下的简化 应力函数,方程组求解：,通解齐次方程的通解非齐次方程的特解,) 将式中变形,2）齐次方程（体积力为零）的通解,（b）,（a）,由（a）和（b）式及 ，得,2-10 常体力情况下的简化 应力函数,方程组求解：,通解齐次方程的通解非齐次方程的特解,2）齐次方程（体积力为零）的通解,（c）,) 设另一函数,代入 中：,此式为齐次方程的通解,2-10 常体力情况下的简化 应力函数,方程组求解：,通解齐次方程的通解非齐次方程的特解,3）平衡方程组的解,特解：,通解：,方程组的解：,（2-24）,2-10 常体力情况下的简化 应力函数,方程组求解：,通解齐次方程的通解非齐次方程的特解,4）相容方程,将解代入,方程组的解：,（2-24）,（2-25）,此式为应力函数表示的相容方程,双调和函数,2-10 常体力情况下的简化 应力函