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最大子序列和第一种情况:可以一个不取【问题描述】:最大子序列和也叫数列的连续最大和,顾名思义,就是在一个长度为n的数列An中,求i,j(1=i=j=n),使得数列An中,第i个元素到第j个元素之间,所有元素的和最大。例如:-2, 11, -4, 13, -5, -2时答案为20(11 -4 13)解法一穷举法:以前我想出了一种算法,具体做法是:取出所给序列的所有子序列求和,共分n组,第一组长度为1,有n个; 第二组长度为2, 有n-1个;,最后一组,长度为n,只有一个。比较这n(n1)/2个序列的和,再将每组的最大值比较,从而得到最大值以及其上下标。a1a2 an-1 ana1+a2 a2+a3 an-1+an a1+a2+a3 a2+a3+a4 . . .a1+a2.+an-1 a2+a3.+an a1+a2.+an-1+an此算法比较直接,也容易写出代码,但其时间开销为O(n2),空间开销为O(n),效率不高。解法二:动态规划求解,1、 样例求解过程:123456Ai-211-413-5-2Fi01172015132、 动态规划方程为:Fi:表示以元素i结尾的连续最大子序列的和那么对于第i个元素来说,要形成连续的最大子序列,只和相邻的前一个元素有关。因为可以不取,所以如果元素ai连接到以元素i-1结尾的最大连续子序列fi-1后是负数(fi-1+ai0 then fi:=fI-1+ai else fi:=0; max:=-maxlongint; for i:=1 to n do if fimax then max:=fi; 程序代码二:迭代进行 best:=-maxlongint;temp:=0;fori:=1tondobegintemp:=temp+ai);iftempbestthenbest:=temp;iftempai then fi:=fI-1+ai else fi:=ai; max:=-maxlongint; for i:=1 to n do if fimax then max:=fi; 第三种情况:至少要取两个。1、解法一:动态规划求解,2、样例求解过程:123456Ai-349-2-58Fi-3只能取一个-3+4=1取两个13=max4+9,9+111=Max9-2,13-26=max-2-5,11-514=Max-5+8,6+8 说明:以第4个元素为例: 选择一:取长度为2:9-2=7; 选择二:把元素a4连接到元素a3结尾的后面。F3+a4=13-2 两者最较大者。3、动态规划方程为:Fi:表示以元素i结尾的至少要取两个的连续最大子序列的和那么对于第i个元素来说,有两种选择:选择一:因至少要选两个,所以和为ai-1+ai;选择二:把ai连接到ai-1元素结尾的长度至少为2的最大连续子序列后。此时和为fi-1+ai;两种情况选较大者。所以动态方程:fi:=maxai-1+ai,fI-1+ai(i=3) (边界条件:f1=a1;f2=a1+a2)5、 代码: F1:=a1; f2:=a1+a2;for I:=3 to n do if (fI-1+ai)ai-1+ai then fi:=fI-1+ai else fi:=ai-1+ai; max:=-maxlongint; for i:=2 to n do if fimax then max:=fi; 其它情况:如2014年衢州市竞赛的转型,把相应的内容扩展到矩阵中而已。5、求M子段和的最值。问题描述:在一个长度为n的数列An中,求m个连续子序列,使得这m个连续子序列的和最大,且m个子序列无公共元素。特别地,若一子段的数全为负,则这个子段的和为0。(若两子段xi.j与yi.j不相交,则他们的关系是I=jI=j或I=jI=j)输入:第一行:n, m(1=n=100 1=m=10,m=n) n表示数列中有多少数 。第二行:n个数 每个数的绝对值=1000Sample Input5 2-5 9 -5 11 20Sample Output401、分析:在连续最大子序列和的基础上“加一维”的思想,同样利用动态规划来解决。用ansi,j表示数列前j个元素中,i个无公共元素的子序列的最大和,且必须包含第j个元素,a存放数列元素.2、则状态转移方程为: 对于第j 个元素,可以单独成一个段,也可以和前面的相连。 选择一:如果元素aj单独成一段,那么前面长度为k的序列,划分成不相交的 i-1段,能得的和为ansi-1,k+aj; 选择二:如果元素aj连接在第i段,那么前面j-1个元素分成不相交的i段,aj作为第i段的最后一个元素连上即可。能得到的和为ansI,j-1+aj 两者取较大值。ansi,j=maxansi,j-1+aj,ansi-1,k+a(i-1=kansi,jthenansi,j:=ansi-1,k+noj;end;fori:=1tondoifansm,ibestthenbest:=ansm,i;注意:红色部分为确定最大值的过程!因为ansi,j表示数列前j个元素中,i个无公共元素的子序列的最大和,且最大和不一
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