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测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。中间含有的对象叫元素。 全集：要研究的问题涉及到的最大集合。 空集：没有任何元素的集合。 表达方法：x（集合元素x）|x应该有的性质元素与集合的关系：xA，xA集合之间的关系 只有包含或者不包含 若对于任意元素xA，xB则A包含于B（证明就用这个方法），A是B的子集（AB则为B的真子集） 包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A 真子集：A包含于B但AB集合的运算 单个元素的幂集2X 对于一个集合X，它的幂集2X表示所有其子集为元素构成的集合。这种以集合为元素的集合，也叫集合族。 两个集合的运算 交：AB=x| xA且xB 并：AB=x| xA或xB 差：AB（或写成A-B）=x| xA且xB 补：AC=UA（U是问题要研究的全集） 于是有等式AB=ABC 积：（直积）AB=(x,y)| xA且yB （把A、B中元素构成有序对） 多个元素的运算 多个交IA表示所有以为角标的集合的并，要求I，I称为指标集。 类似有多个并 注：可以是无穷个 【例】An=x| x1n，A=x| x0，则A=n=1An集合的分析相关性质上限集：一列集合An，定义上限集为n=1k=nAk。类似于数列的上极限。下限集：一列集合An，定义下限集为n=1k=nAk。类似于数列的下极限。集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。单调集合列：若始终有An包含于An+1，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有An+1包含于An ，则为递减列。 若An为递增列，则有极限limnAn=n=1An；若为递减列，则有limnAn=n=1An。1.2映射定义：X、Y是两个集合，对任意xX，存在唯一的y=f(x)Y与之对应，则对应法则f为X到Y的一个映射，记为f:XY。像集：对于X的一个子集A，像集f(x)| xA记为f(A)，显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B，原像集x| xA且f(x)B 记为f-1(B) 满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像 单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像 双射：既是单射又是满射。双射是一一对应的映射。逆映射：对于双射，建立一种Y到X的双射，将像映射到原像上。记为f-1:YX复合映射：f:XY，g:YZ，它们的复合g o f:XZ，写成g(f(X)函数，一个Rn（n维实数向量）到R（实数）上的映射性质（映射与交并运算顺序可交换性）对于f:XY，X若干个子集A，Y若干个子集Bf(UA)=Uf(A)f-1B=f-1B f(A)包含于（只有这一个不一定等于！）f(A)不等于的例子：A=1 ，B=-1，f(x)=|x|，则f(AB)f(A) f(B)f-1B=f-1B用集合相等定义可证明。1.3集合的势对等：如果集合A和B之间可以建立双射，则A对等于B。记为AB 性质：A到B有单射A与B子集对等 A到B有满射B与A子集对等 AB，BC，则AC（传递性） AC，BD，则ABCD 判定：（康托伯恩斯坦定理）若集合X与Y的一个真子集对等而且Y与X的一个真子集对等，则XY基数：有限个元素的集合为元素个数。势：若两个集合对等，则定义它们的势相等。在有限个元素的情况下，势就是基数。 无限个元素的情况下，定义自然数集的势是0（阿列夫0）。A的势用|A|表示。若A与B的一个子集对等，则|A|B|，若与B的真子集对等，则|A|B|1.4可数集可数集：与自然数集对等的称为可列集，元素有限的集合和可列集统称可数集。性质：任何无穷集合都包含可列子集 可数集的子集还是可数集 两个可数集的交、并还是可数集 可数集和可数集的直积还是可数集定理：有理数集是可列集，实数不是可列集。（有理数可列证明就把每一个有理数p/q映射到(p,q)点，则有理数和ZN对等。实数不可列证明方法有多种，可用闭区间套定理、有限覆盖定理、十进制小数展开等方法） 定义实数的势是c=1定理：单调函数的间断点集是可数集。 证明思路：不妨设单调递增。间断点x0左右必有界，否则不单调。f(x0-0)和f(x0+0)之间必有有理数rx0，而且x0不同的话每个区间(f(x0-0),f(x0+0)不会相交，否则不单调。所以间断点和有理数子集rx0建立双射，是可数的。不可数集性质：一个集合子集不可数，则它不可数 A不可数，B可数，则AAUB 2.n维欧式空间极其简单的性质2.1定义向量与运算：（略）这部分详见线性代数或者解析几何书定义的向量及运算（加、减、模、内积）、距离等。一些常用的集合：开球：B(x,r)（以x为球心，r为半径的球内部）就是yRn|d(x,y)0，均存在，使得xBx0时|f-f(x0)|t，xE(记为E(ft)是开集，则f在E上连续。大于号可换为大于等于、小于、小于等于。若R任意开集在f的原像是开集，则f在E上连续。“开集”可换为“闭集”。2.5 n维欧式空间的完备性定理有柯西收敛准则、闭集套定理、有限覆盖定理、聚点原理，类似于R的情况，不详细叙述。3.勒贝格测度3.1勒贝格外侧度 勒贝格测度的定义开矩体的体积n维欧式空间中的开矩体I=(x1,x2xn)|x1a1,b1,x2a2,b2xn(an,bn)= a1,b1a2,b2(an,bn)（(an,bn)都是R中的开区间）定义它的体积|I|=|a1-b1|a2-b2|an-bn|勒贝格外侧度对于任意n维欧式空间的集合E，总有可数个开矩体可以将其覆盖。定义E外侧度为可数个覆盖它的开矩体体积和的下确界，记为m*(E)。性质：非负性：m*(E)0平移不变性：m*(E)= m*(E+x)，E+x为把集合E向右平移x。子集的外侧度：若E1包含于E2，则m*(E1)m*(E2)集合的并的外侧度：n维欧式空间中，m*(k=1Ek)k=1m*(Ek)一些集合外侧度的例子：m*()=0单个点构成的集合外侧度为0。可数集的外侧度是0定义：外侧度为0的集合称为零测集。平面（2为欧式空间）上的任意直线外侧度为0（即直线面积是0）开矩体与它的闭包外侧度相等，都等于它的体积。（而且还等于有一部分边界的矩体的外侧度）可测集 勒贝格测度可测集：如果对于一个n维欧式空间中的集合E，任意n维欧式空间中的集合T，都有m*(T)= m*(ET)+ m*(ECT)，则称E为可测集。n维欧式空间中的所有可测集的全体记为M(Rn)。理解：就是用任意一个集合T去“检验”这个E，与E相交的部分外侧度和E以外部分的外侧度加起来还等于原来T的外测度，那么E就是一个“可以用常理理解”的集合，不至于太“奇怪”，这样的集合E叫做可测集。这个概念不要记错注1：不可测集一定是存在的，但是要举出不可测集的例子非常麻烦，要有很多铺垫，所以略去。注2：条件可以减弱，只要把任意集合T换成任意开矩体I成立即可。证明略。可测集例子：零测集可测，显然测度为0开矩体可测勒贝格测度：当一个集合E是可测集的时候，它的外侧度定义为它的勒贝格测度，简称测度，记为m(E)。可测集族M(Rn)是n维欧式空间上的代数空集可测若E可测，则EC可测若一列集合An可测，则n=1An可测勒贝格测度的性质可列可加性：若一列可测集合An两两不交，则mn=1An=n=1m(An)上连续：若递增集合列An都可测则mlimAnn=limnm(An)下连续：若递减集合列An都可测，而且A1测度有限，则mlimAnn=limnm(An)注：A1无测度无限时候不一定成立，比如An=(n,+)，limAnn=但是对任意n，m(An)=+注：康托集可测，测度为0。（证明很容易，因为康托集是一些区间的极限）故测度为0的集合不一定可数，康托集不可数却测度为0。可测集的性质若E是可测集，则任给0存在一个开集G包含E，且m(E/F)0存在一个闭子集F且m(E/F)证明思路：分情况讨论（有界与无界）证明，有界时用定义的开矩体证明，无界时En=EB(0,n)，开集Gn包含En且差集测度任意小，G=n=1Gn。对于取补集再用证。若E是可测集，则存在G包含E且与E差集测度为0。这个G集称为E的G包。若E是可测集，则存在F包含于E且与E差集测度为0。这个F集称为E的F核。证明较简单，用直接证。取=1/n构造集合列。3.2 测度的公理化定义 概率测度空间设X是非空集，F是X上的代数，若存在把F子集映射为非负实数的函数 ，满足： ()=0；若F中集合列An两两不交，就有 n=1An=n=1 (An)则称为(X,F)上的一个测度，称(X,F,)为一个测度空间。很容易验证勒贝格测度满足上述性质，故是一个特殊的测度。性质单调性：若A包含于B则(A)(B)次可加性：(k=1Ek)k=1(Ek)上、下连续性（同勒贝格测度）概率若上述测度还满足(F)=1，则称为一个概率测度，简称概率，记为P。上述集合X记为，称为样本空间，实际表示随机试验结果构成的集合；内的元素为基本事件。概率满足测度的所有性质。在下面的讨论中不涉及一般测度空间的性质，只涉及勒贝格测度和少量概率的相关问题。4.勒贝格可测函数4.1 广义实数将看成两个数加入实数系中，称为广义实数。定义的性质和运算任意实数x，-xt)是可测集，则称f在E上可测。E可测函数全体记为M(E)。还有一些等价定义，即把上述大于号改成大于等于、小于、小于等于都等价。注：概率论中的“随机变量”实际上就是样本空间上对于概率测度来说的可测函数。而上述的可测函数是n维欧式空间中相对于勒贝格测度而言的。定理：可测集上定义的连续函数可测。 可测集上的指示函数E可测。（E即E上恒为1，其余为0的函数） R上的单调函数可测。 E若为零测集则E上任何函数可测。 a,b上定义的间断点集为零测集的函数可测。性质：f为E上可测函数，则E(f=)、E(ft等价于任意有理数r，fr且gt-r；对于fg先证f2可测，再用fg=(f+g)2-(f-g)24 来做；f/g只证1/g可测。4.3 可测函数列极限的可测性对于一列E上的可测函数fk，supfk、inffk均可测进而fk上下极限都可测。几乎处处成立的命题：指在集合E上，除去零测集E0以外，其他地方处处成立的命题（若E0=则处处成立），记为a.e.E。注：一个函数几乎处处等于一个连续函数，未必几乎处处连续，反例是狄利克雷函数。由于有理数集可数所以有理数集测度为0，狄利克雷函数几乎处处等于0。但是狄利克雷函数不但不是几乎处处连续，而且是处处都不连续。可测函数列的三种收敛fk在E上几乎处处收敛到f，记为fkf a.e.E。注：若探讨概率测度，则是随机变量序列XkX的问题，称为几乎必然收敛（不收敛的集合概率为0），记为XkX a.s. 如果可测集E上函数列fk和函数f，对于任意0，都可以找到一个测度小于的集合，使得去掉这个集合以后得到的集合E上，fk一致收敛到f，则称fk几乎一致收敛到f，记为fkf,a.u.E。依测度一致收敛。若如果可测集E上函数列fk和函数f，几乎处处有限，且对于任意0，都有limkE(|fk-f|)=0则称fk依测度（一致）收敛到f，记为fkm f。注：若是概率测度，则称依概率收敛。三种收敛互推定理定理1：几乎一致收敛可以推出几乎处处收敛证明思路构造E1/n即可。定理2（叶戈罗夫定理）：在测度有限的可测集E上几乎处处有限的函数列fk如果几乎处处收敛到f，则几乎一致收敛到f。注意！不能去掉测度有限的条件。反例：fk=k,+几乎处处收敛到0，但不是几乎一致收敛到0。定理3：在测度有限的E上几乎处处收敛可以推出依测度收敛。证明：用叶戈