湖南省师大附中2019届高三数学月考试题（六）理（含解析）.docx

湖南省师大附中2019届高三数学月考试题（六）理（含解析）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A4，2，a1，B0，2，a21，若AB2，则实数a满足的集合为(D)A1 B1 C1，1 D2已知复数z满足z3i，则z(D)A1i B1i C.i D.i3下列说法正确的是(D)A命题“x0，使x10”的否定为“x，都有x210”B命题“若向量a与b的夹角为锐角，则ab0”及它的逆命题均为真命题C命题“在锐角ABC中，sin Acos B”为真命题D命题“若x2x0，则x0或x1”的逆否命题为“若x0且x1，则x2x0”【解析】命题“x0，使x10”的否定应为“x，都有x210”的逆命题为假命题，故B错误；锐角ABC中，ABAB0，sin Asincos B，所以C错误，故选D.4我国古代数学名著九章算术里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两)问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为(C)A90，86 B94，82 C98，78 D102，74【解析】执行程序框图，x86，y90，s27；x90，y86，s27；x94，y82，s27；x98，y78，s27，结束循环，输出的x，y分别为98，78，故选C.5已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf，cf则a，b，c的大小关系为(B)Aabc Bacb Ccab Dcba【解析】函数f是偶函数，ff在R上恒成立，m0，当x0时，易得f(x)21为增函数，af(log0.53)f(log23)，bf，cf，log232log25，acb，故选B.6学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学现从该小组中选出3名同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有(D)A70种 B140种 C840种 D420种【解析】从9名同学中任选3名分别到A，B，C三地进行社会调查有CA种安排方法，3名同学全是男生或全是女生有(CC)A种安排方法，故选出的同学中男女均有的不同安排方法有CA(CC)A420(种)7已知(x1)5(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，则a7(B)A9 B36 C84 D243【解析】令tx1，则(x1)5(x2)9(t2)5(t1)9，只有(t1)9中展开式含有t7项，所以a7C36，选B.8已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是(B)A. B. C. D.【解析】将题中可行域表示如右图，易知k在A(1，3)处取得最小值3，且斜率k小于直线xy1的斜率1，故3k1，则1，故0.9正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为(C)A. B. C. D.【解析】如图，设ACBDO，连接OE，因为OE是SAC的中位线，故EOSA，则BEO为BE与SA所成的角设SAAB2a，则OESAa，BESAa，OBSAa，所以EOB为直角三角形，所以cosBEO，故选C.10如图所示，点F是抛物线y28x的焦点，点A，B分别在抛物线y28x及圆(x2)2y216的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则FAB的周长的取值范围是(C)A(2，6) B(6，8) C(8，12) D(10，14)【解析】抛物线的准线l：x2，焦点F(2，0)，由抛物线定义可得|AF|xA2，圆(x2)2y216的圆心为(2，0)，半径为4，三角形FAB的周长为|AF|AB|BF|(xA2)(xBxA)46xB，由抛物线y28x及圆(x2)2y216可得交点的横坐标为2，则xB(2，6)，所以6xB(8，12)，故选C.11在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)，B(1，2)，D(3，2)，动点P满足，其中0，1，0，2，1，2，则点P落在三角形ABD里面的概率为(A)A. B. C. D.【解析】以OA，OB为邻边做平行四边形OACB，延长OB至E，使得OE2OB，且0，1，0，2，1，2，P点位于平行四边形ABEC的内部(包含边界)，则点P落在三角形ABD里面的概率P，选A.12已知函数f(x)4sin，x，若函数F(x)f(x)3的所有零点依次记为x1，x2，x3，xn，且x1x2x30，b0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为_14设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)x3fx2x，f(x)，则f(1)_0_【解析】因为f(x)x3fx2x，所以f(x)3x22fx1，所以f32f1，则f1，f(x)x3x2x，则f(x)3x22x1，故f(1)0.15已知三棱锥PABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥PABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为_【解析】依题意，记三棱锥PABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面ABC的距离为h，则由VPABCSABChh得h.又PC为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于h.又正ABC的外接圆半径为r，因此R2r2，所以三棱锥PABC的外接球的表面积为4R2.16已知在平面四边形ABCD中，AB，BC2，ACCD，ACCD，则四边形ABCD的面积的最大值为_3_【解析】如图所示，设ABC，(0，)，则在ABC中，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcos 64cos ，四边形ABCD的面积为SSABCSACD(ABBCsin ACCD)，化简得：S(2sin 64cos )3(sin 2cos )3sin()，其中tan 2，当sin()1时，S取得最大值为3.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共60分17(本题满分12分)设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a11，设bn2，nN*.(1)求数列bn的通项公式；(2)证明：对一切正整数n，有2，即3n2n2n，11.11分当n1时，1，上式也成立综上可知，对一切正整数n，有.12分18(本题满分12分)如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1.(1)求证：BC平面ACFE；(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角为，试求cos 的取值范围【解析】(1)在梯形ABCD中，因为ABCD，ADDCCB1，ABC60，所以AB2，2分所以AC2AB2BC22ABBCcos 603，所以AB2AC2BC2，所以BCAC.4分因为平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，BC平面ABCD，所以BC平面ACFE.6分(2)建立以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系如图所示，令FM(0)，则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(，0，1)，所以(，1，0)，(，1，1)，设n1(x，y，z)为平面MAB的一个法向量，由得取x1，所以n1(1，)，9分因为n2(1，0，0)是平面FCB的一个法向量所以cos .因为0，所以当0时，cos 有最小值，当时，cos 有最大值.所以cos .12分19(本题满分12分)如图，已知椭圆C1：y21的左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2.(1)求圆C2的标准方程；(2)已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P，M两点()求证：OPOM；()试探究是否为定值【解析】(1)因为A2，B1分别为椭圆C1：y21的右顶点和上顶点，则A2，B1坐标分别为(2，0)，(0，1)，可得直线A2B1的方程为：x2y2.2分则原点O到直线A2B1的距离为d，则圆C2的半径rd，故圆C2的标准方程为x2y2.4分(2)(i)可设切线l：ykxb(k0)，P(x1，y1)，M(x2，y2)，将直线PM方程代入椭圆C1可得x22kbxb210，由韦达定理得：则y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2，6分又l与圆C2相切，可知原点O到l的距离d，整理可得k2b21，则y1y2，所以x1x2y1y20，故OPOM.8分(ii)由OPOM知SOPM，当直线OP的斜率不存在时，显然|OP|1，|OM|2，此时；当直线OP的斜率存在时，设OP：yk1x代入椭圆方程可得kx21，则x2，故OP2x2y2(1k)x2，10分同理OM2，则.综上可知：为定值.12分20(本题满分12分)中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2 000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分)，结果如下表所示：分数a95a10085a9575a8560a75a6.635，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.6分(2)p0.90.80.60.50.40.6.8分设获得某高校自主招生通过的人数为，则B，P(xk)C，k0，1，2，150，10分所以E15090.12分21(本题满分12分)设函数f(x)aln x，aR.(1)若函数f(x)在区间(e2.718 28为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实数a的取值范围；(2)若在1，e(e2.718 28为自然对数的底数)上存在一点x0，使得fx0成立，求实数a的取值范围【解析】(1)f(x)x，其中x1，e，当a1时，f(x)0恒成立，f(x)单调递增，又f(1)0，函数f(x)在区间1，e上有唯一的零点，符合题意当ae2时，f(x)0恒成立，f(x)单调递减，又f(1)0，函数f(x)在区间1，e上有唯一的零点，符合题意.3分当1ae2时，1x时，f(x)0，f(x)单调递减，又f(1)0，f()f(1)0，函数f(x)在区间1，上有唯一的零点，当0，f(x)单调递增，当f(e)0时符合题意，即a时，函数f(x)在区间1，上有唯一的零点；a的取值范围是.6分(2)在1，e上存在一点x0，使得fx0成立，等价于x0aln x00在1，e上有解，即函数g(x)xaln x在上的最小值小于零g1，8分当a1e时，即ae1时，g在上单调递减，所以g的最小值为g，由gea，e1，a； 当a11时，即a0时，g在上单调递增，所以g的最小值为g，由g11a0可得a2；10分当1a1e时，即0ae1时，可得g的最小值为g，0ln1，0aln2，所以g0不成立综上所述：可得所求a的取值范围是(，2).12分(二)选考题：共10分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为(为参数)以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若直线l：(0, ), R)与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值【解析】(1)曲线C的普通方程为(x1)2(y1)222，由得22cos 2sin 20.5分(2)联立和22cos 2sin 20，得22(cos sin )20，