2019年高考数学考点分析与突破性讲练专题42不等式选讲理.docx

专题42 不等式选讲一、考纲要求：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)，|ab|ac|cb|(a，b，cR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法二、概念掌握和解题上注意点：1.解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论，用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式，零点分段法的操作程序是：找零点，分区间，分段讨论；(2)当不等式两端均非负时，可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解2.作差比较法证明不等式的步骤：(1）作差；(2）变形；(3）判断差的符号；(4）下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.3.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.4.分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”.三、高考考题题例分析例1.（2018全国卷I）已知f（x）=|x+1|ax1|（1）当a=1时，求不等式f（x）1的解集；（2）若x（0，1）时不等式f（x）x成立，求a的取值范围【答案】（1）（，+）；（2）0，2【解析】：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|x1|=，由f（x）1，或，解得x，故不等式f（x）1的解集为（，+），例2.（2018全国卷II）设函数f（x）=5|x+a|x2|（1）当a=1时，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）1，求a的取值范围【答案】（1）2，3；（2）6，2【解析】：（1）当a=1时，f（x）=5|x+1|x2|=当x1时，f（x）=2x+40，解得2x1，当1x2时，f（x）=20恒成立，即1x2，当x2时，f（x）=2x+60，解得2x3，综上所述不等式f（x）0的解集为2，3，例3.（2018全国卷III）设函数f（x）=|2x+1|+|x1|（1）画出y=f（x）的图象；（2）当x0，+）时，f（x）ax+b，求a+b的最小值【答案】见解析【解析】：（1）当x时，f（x）=（2x+1）（x1）=3x，当x1，f（x）=（2x+1）（x1）=x+2，当x1时，f（x）=（2x+1）+（x1）=3x，则f（x）=对应的图象为：画出y=f（x）的图象； 例10.(2016全国卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.【答案】(1) Mx|1x1；(2)见解析不等式选讲练习题1已知|2x3|1的解集为m，n(1)求mn的值；(2)若|xa|m，求证：|x|a|1.【答案】(1) mn3；(2)见解析2已知函数f(x)|x4|xa|(aR)的最小值为a.(1)求实数a的值；(2)解不等式f(x)5. 【答案】(1) a2；(2) 【解析】：(1)f(x)|x4|xa|a4|a，从而解得a2.(2)由(1)知，f(x)|x4|x2|故当x2时，令2x65，得x2，当24时，令2x65，得4x，故不等式f(x)5的解集为.3(1)求不等式|x5|2x3|1的解集；(2)若正实数a，b满足ab，求证：1.【答案】(1) ；(2)见解析【解析】：(1)当x时，x52x31，解得x7，7x；当x5时，x52x31，解得x，0)(1)证明：f(x)2；(2)当a1时，求不等式f(x)5的解集【答案】(1)见解析；(2) 5设函数f(x)|x1|2x1|的最大值为m. (1)作出函数f(x)的图象；(2)若a22c23b2m，求ab2bc的最大值【答案】见解析【解析】：(1)f(x)画出图象如图，6已知函数f(x)(a0)(1)求函数f(x)的定义域；(2)若当x0,1时，不等式f(x)1恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1) ；(2) 1a5且a0.【解析】：(1)|ax2|44ax242ax6，当a0时，函数f(x)的定义域为；当a0的解集；(2)设g(x)|x7|3m，若关于x的不等式f(x)2或x1；(2) (3，)8.已知函数f(x)|xa2|xa1|.(1)证明：f(x)；(2)若f(4)13，求a的取值范围【答案】(1)见解析 ；(2) (2,3)【解析】：(1)证明：f(x)|xa2|xa1|(xa2)(xa1)|a2a1|.(2)因为f(4)|a24|a3|所以f(4)13或解得2a3，即a的取值范围是(2,3) 9.已知函数f(x)|2x1|，g(x)|x|a.(1)当a0时，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在xR，使f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (，1；(2) 10设a，b是非负实数，求证：a2b2(ab)【答案】见解析【解析】：因为a2b2(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab).因为a0，b0，所以不论ab0，还是0ab，都有ab与同号，所以(ab)0，所以a2b2(ab)11设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小. 【答案】(1) Mx|0xab【解析】：(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1.所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b0.故ab1ab.12已知函数f(x)|x|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2b2M，证明：ab2ab.【答案】(1) m的最大值M2.；(2)见解析13已知a，b，cR，且2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值【答案】【解析】：由柯西不等式得(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1)2(b2)2(c3)2，当且仅当c3时等号成立，(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是.14已知函数f(x)k|x3|，kR，且f(x3)0的解集为1,1(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且1.求证：a2b3c9.【答案】(1) k1；(2)见解析15已知函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；