浙江2020版高考数学第八章立体几何与空间向量8.3空间点、直线、平面之间的位置关系讲义（含解析）.docx

8.3空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲考情考向分析1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义2.掌握可以作为推理依据的公理和定理.主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.3直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补概念方法微思考1分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定因为异面直线不同在任何一个平面内分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交2空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面()(5)没有公共点的两条直线是异面直线()(6)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线()题组二教材改编2P52B组T1(2)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A30B45C60D90答案C解析连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C即为所求的角又B1D1B1CD1C，B1D1C为等边三角形，D1B1C60.3P45例2如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为正方形答案(1)ACBD(2)ACBD且ACBD解析(1)四边形EFGH为菱形，EFEH，ACBD.(2)四边形EFGH为正方形，EFEH且EFEH，EFAC，EHBD，且EFAC，EHBD，ACBD且ACBD.题组三易错自纠4是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系不可能是()A垂直B相交C异面D平行答案D解析依题意，mA，n，m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行5.如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点AB点BC点C但不过点MD点C和点M答案D解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据公理3可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为_答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对题型一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；证两平面重合(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线证明(1)E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.在BCD中，GHBD，EFGH.E，F，G，H四点共面(2)EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线题型二判断空间两直线的位置关系例2(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交答案D解析由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交故选D.(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是()A相交但不垂直B相交且垂直C异面D平行答案D解析连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E2ED，可得M为AD的中点，连接BF并延长，交AD于点N，因为CF2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且，所以，所以EFBD1.思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决跟踪训练2(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(填序号)答案解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故错；取DD1中点E，连接AE，则BNAE，但AE与AM相交，故错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故正确；同理正确，故填.题型三求两条异面直线所成的角例3(1)(2018浙江金丽衢联考)正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，过点A作平面BCE的平行平面，该平面与平面ABC、平面ACD的交线分别为l1，l2，则l1，l2所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案A解析由题意得BCl1，CEl2，则BCE即为l1与l2所成角设正四面体的棱长为a，则易得EBECa，设BC的中点为F，连接EF，则易得EFa，则l1与l2所成角的正弦值为sinBCE，故选A.(2)如图，把边长为4的正三角形ABC沿中线AD折起，使得二面角CADE的大小为60，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为()AB.CD.答案B解析如图，取AB的中点F，连接DF，EF，因为D，F分别是线段BC，AB的中点，所以DFAC，所以EDF(或其补角)是异面直线AC与DE所成的角由正三角形的性质可得ADBC，所以CDE就是二面角CADE的平面角，所以CDE60.又CDDE，所以CDE是正三角形作EGCD，垂足为G，作FHBD，垂足为H，连接EH，易知EGDEsin602，DGDEcos6021，DHBD21，HGDHDG2，FHADAC4.由勾股定理，得EH，EF.在EDF中，由余弦定理，得cosEDF，所以异面直线AC与DE所成角的余弦值为，故选B.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角跟踪训练3(2018全国)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C解析方法一如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体ABBAA1B1B1A1.连接B1B，由长方体性质可知，B1BAD1，所以DB1B为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角连接DB，由题意，得DB，BB12，DB1.在DBB1中，由余弦定理，得DB2BBDB2BB1DB1cosDB1B，即54522cosDB1B，cosDB1B.故选C.方法二如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，(1,0，)，(1,1，)，1101()22，|2，|，cos，.故选C.立体几何中的线面位置关系直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题例如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BCAD且BCAD，BEFA且BEFA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GHAD且GHAD.又BCAD且BCAD，GHBC且GHBC，四边形BCHG为平行四边形(2)解BEAF且BEAF，G为FA的中点，BEFG且BEFG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BGCH.EFCH，EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面素养提升平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为()A4B3C2D1答案A解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面2(2018湖州模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C若ab，则a，b与c所成的角相等D若ab，bc，则ac答案C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确故选C.3如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线ACB直线ABC直线CDD直线BC答案C解析由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.4.如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面答案A解析连接A1C1，AC，则A1C1AC，A1，C1，A，C四点共面，A1C平面ACC1A1，MA1C，M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上A，M，O三点共线5(2018绍兴质检)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，E，F分别为BC，BB1的中点，M，N分别为AA1，A1C1的中点，则直线MN与EF所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案B解析方法一如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱，连接AC1，CB1，C1B，易得MNAC1，EFCB1C1B，那么AC1B的补角即直线MN与EF所成的角设AA1ABa，则AC1C1Ba，连接AB，则AB3a，由余弦定理得cosAC1B，故直线MN与EF所成角的余弦值为.方法二如图，连接AC1，C1B，CB1，设C1B与CB1交于点O，取AB的中点D，连接CD，OD，则MNAC1OD，EFCB1，那么DOC即直线MN与EF所成的角，设AA1ABa，则AC1CB1a，于是ODOC，又CD，于是OCD为正三角形，故直线MN与EF所成角的余弦值为.6.(2018衢州质检)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为()A.B.C.D.答案C解析连接AC，BD，B1E，设BD与AC交于点O，连接B1O，则四边形DOB1E为平行四边形，所以DEOB1，所以异面直线DE与B1C所成角为OB1C，设正方体棱长为1，则B1C，OC，B1O，所以cosOB1C.又因为异面直线所成角的范围是，所以OB1C.7给出下列命题，其中正确的命题为_(填序号)如果线段AB在平面内，那么直线AB在平面内；两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A，B，C；若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；若三条直线两两相交，则这三条直线共面；两组对边相等的四边形是平行四边形答案8在三棱锥SABC中，G1，G2分别是SAB和SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是_答案平行解析如图所示，连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN.由题意知SM为SAB的中线，且SG1SM，SN为SAC的中线，且SG2SN，在SMN中，G1G2MN，易知MN是ABC的中位线，MNBC，G1G2BC.9.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_答案解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1DAD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析还原成正四面体ADEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合易知GH与EF异面，BD与MN异面连接GM，GMH为等边三角形，GH与MN成60角，易证DEAF，又MNAF，MNDE.因此正确命题的序号是.11.如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)解取CD的中点G，连接EG，FG，则ACFG，EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角又因为ACBD，则FGEG.在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.12.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.13若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定答案D解析如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA.若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可以排除选项A和C.若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；若取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直因此l1与l4的位置关系不能确定14平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案A解析如图所示，设平面CB1D1平面ABCDm1，平面CB1D1，则m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m，同理可得CD1n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小又B1CB1D1CD1(均为面对角线)，CD1B1，得s