高中数学第二章圆锥曲线与方程2_1抛物线及其标准方程课件北师大版选修1_1

第二章 2 抛物线,2.1 抛物线及其标准方程,学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 抛物线的定义,思考1,如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下 边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直 角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔， 上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.这是 一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的 定义吗？,答案,平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.,思考2,抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？,不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线.,答案,梳理,(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离 的点的集合叫作抛物线. (2)焦点： . (3)准线： .,相等,点F,直线l,知识点二 抛物线的标准方程,思考1,抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？,p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向.,答案,思考2,抛物线标准方程的特点？,(1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于 .,答案,思考3,已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？,一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上.焦点确定，开口方向也随之确定.,答案,梳理,抛物线的标准方程有四种类型,题型探究,类型一 抛物线定义的解读,A.圆 B.椭圆 C.线段 D.抛物线,答案,解析,它表示点M(x，y)与点F(3，1)的距离等于点M到直线xy30的距离，且点F(3，1)不在直线上. 根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线.,根据式子的几何意义 ，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹，注意定义中“点F不在直线l上”这个条件.,反思与感悟,跟踪训练1 若动圆与圆(x2)2y21相外切，又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹是_.,由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x10的距离大1， 故动圆圆心的轨迹是以(2，0)为焦点，x2为准线的抛物线， 其方程为y28x.,答案,解析,抛物线,类型二 抛物线的标准方程及求解,命题角度1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解 例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程. (1)y26x；,解答,由方程y26x，知抛物线开口向左，,(2)3x25y0；,解答,(3)y4x2；,解答,(4)yax2(a0).,解答,引申探究 1.将例2(4)的方程改为y2ax(a0)结果如何？,答案,2.将例2(4)的方程改为x2ay(a0)，结果如何？,答案,如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向.,反思与感悟,跟踪训练2 已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y26x70相切，则p为,答案,解析,曲线x2y26x70，,即(x3)2y216，,它表示圆心为(3，0)，半径为4的圆.,解得p2，故选A.,命题角度2 求抛物线的标准方程 例3 求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(3，2)；,解答,当抛物线的焦点在x轴上且过点(3，2)时， 可设抛物线方程为y22px(p0)， 把(3，2)代入得222p(3)，,当抛物线的焦点在y轴上且过点(3，2)时， 可设抛物线方程为x22py(p0)，把(3，2)代入得(3)22p2，,(2)焦点在直线x2y40上；,解答,直线x2y40与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，2)， 故抛物线的焦点为(4，0)或(0，2)，当抛物线的焦点为(4，0)时， 设抛物线方程为y22px(p0)，,当抛物线的焦点为(0，2)时， 设抛物线方程为x22py(p0)，,抛物线方程为y216x.,抛物线方程为x28y.,综上，所求抛物线方程为y216x或x28y.,(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线相交于点A，|AF|5.,解答,设所求焦点F在x轴上的抛物线的标准方程为y22px(p0)，A(m，3).,点A在抛物线上，,(3)22pm，从而可得p1或p9. 所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.,抛物线标准方程的求法 (1)定义法：建立适当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程. (2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.,反思与感悟,跟踪训练3 根据下列条件，求抛物线的标准方程. (1)焦点为(2，0)；,解答,焦点在x轴的负半轴上，,所以抛物线的方程是y28x.,p4，抛物线的方程有四种形式： y28x，y28x，x28y，x28y.,(2)焦点到准线的距离是4；,解答,(3)过点(1，2).,解答,方法一 点(1，2)在第一象限，要分两种情形讨论： 当抛物线的焦点在x轴上时， 设抛物线的方程为y22px (p0)， 则222p1，解得p2， 抛物线方程为y24x； 当抛物线的焦点在y轴上时， 设抛物线的方程为x22py(p0)，,方法二 设所求抛物线的标准方程为 y2mx或x2ny，,类型三 抛物线在实际生活中的应用,例4 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？,解答,如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设抛物线方程为x22py(p0).,当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，,又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h|yA|0.752(m).,设此时船面宽,所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.,为AA，则A(2，yA)，,反思与感悟,涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.,跟踪训练4 某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长.,解答,如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0). 依题意知，点P(10，4)在抛物线上， 所以1002p(4)，2p25. 即抛物线方程为x225y. 因为每4米需用一根支柱支撑， 所以支柱横坐标分别为6，2，2，6. 由图知，AB是最长的支柱之一.设点B的坐标为(2，yB)，,即最长支柱的长为3.84米.,当堂训练,抛物线方程y2x0可化为y2x.,1.抛物线y2x0的开口 A.向上 B.向下 C.向左 D.向右,2,3,4,5,1,答案,解析,2.抛物线y28x的焦点坐标和准线方程分别为 A.(1，0)，x1 B.(2，0)，x2 C.(3，0)，x3 D.(4，0)，x4,抛物线y28x的焦点坐标为(2，0)， 准线方程为x2.,答案,解析,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,3.已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为 A.y2x B.y22x C.x23y D.x26y,由题意知p3，故选D.,答案,解析,4.抛物线x28y上的点M到x轴的距离为6，则点M与抛物线的焦点间的距离为_.,2,3,4,5,1,答案,解析,8,5.分别求满足下列