广东省海珠区2013届高三综合测试（一）数学理.doc

绝密启用前海珠区2012学年高三综合测试（一）数 学(理科)本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。参考公式：柱体体积公式,其中S为柱体的底面积，为柱体的高. 锥体体积公式,其中S为锥体的底面积，为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知全集,，则 下面是关于复数 的四个命题:, 的共轭复数为 的虚部为其中真命题为 下列函数中,既是奇函数又是增函数的是 要得到函数的图象可将函数的图象上的所有点是否结束输出开始图1向右平行移动 个长度单位 向左平行移动 个长度单位 向右平行移动 个长度单位 向左平行移动 个长度单位执行如图所示的程序框图,输出的 值为 已知椭圆 的离心率为,双曲线的 渐近线与椭圆有四个交点,以这四个 交点为顶点的四边形的面积为,则 椭圆的方程为 在长为的线段上任取一点.现作一矩形，邻边长分别等于 线段的长，则该矩形面积大于的概率为 .已知函数对任意的 都存在,使得则实数的取值范围是 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（913题） 在展开式中的系数为,则实数的值为 . 设满足约束条件,则的最大值是 . 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 . 1正视图俯视图2110.50.521侧视图图2 不等式的解集为,计算定积分 . 将石子摆成如图的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,数列第项 ;第项 .图3（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题） 已知直线的参数方程为 (为参数)，圆的参数方程为 (为参数), 则圆心到直线的距离为 . 图4（几何证明选讲选做题）如图，在中， /， /，若，则的长为_ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.(本小题满分分)在锐角中，角、所对的边长分别为、向量,且.(1)求角的大小;(2)若面积为,求的值.(本小题满分分)0.0280.0250.0200.012 0.005分钟O102030405060图5电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图,其中收看时间分组区间是:,. 将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）求图中的值; （2）从“体育迷”中随机抽取人，该人中日均收看该类体育节目时间在区间内的人数记为，求的数学期望.(本小题满分分)图6如图,在三棱柱中,侧棱与底面垂直,点分别为和的中点.（1）证明:;（2）证明:平面; （3）求二面角的正弦值.(本小题满分分)已知等差数列满足又数列中,且.(1)求数列,的通项公式; (2)若数列,的前项和分别是,且求数列的前项和; (3)若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.(本小题满分分)设抛物线的焦点为,是抛物线上的一定点.(1)已知直线过抛物线的焦点,且与的对称轴垂直,与交于两点, 为的准线上一点,若的面积为,求的值;(2)过点作倾斜角互补的两条直线,与抛物线的交点分别为.若直线,的斜率都存在,证明:直线的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.(本小题满分分)已知函数在处取得极值.(1)求实数的值; (2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围;(3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.海珠区2012学年高三综合测试(一)理科数学参考答案与评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案BCCCABDA二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。其中1415题是选做题，考生只能选做一题9. 10. 11. 12. 13. ; 14. 15.(第13题第一空分,第二空分)三、解答题:本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)（本小题主要考查向量数量积、三角特殊值的运算,三角函数的基本关系,解三角形1等知识，考查化归与转化、方程的数学思想方法，以及运算求解能力）解(1) : (1) 1分 2分为锐角三角形, 3分, 4分 . 5分(2)由,得, 6分代入得,得. 7分 9分由题设,得 10分联立,解得或 12分17. (本小题满分12分)（本小题主要考查排列、组合的运算，频率分布,超几何分布，数学期望等知识，考查或然与必然,以及数据处理能力、抽象思维能力、运算求解能力和应用意识）解:(1)由题设可知, 1分解之得 2分(2)由题设可知收看该类体育节目时间在区间内的人数为人, 3分“体育迷”的人数为, 4分所以的可能取值为, 5分, 7分 9分 11分的数学期望.12分18. (本小题满分14分)（本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）解 :证明(1)证法一:由题设知, 又 平面,平面, 平面, 平面 . 1分又四边形为正方形,为的中点, 2分,平面,平面平面 3分又平面 4分. 5分证法二:(向量法) 以点为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示. 1分于是,2分 3分 4分. 5分(2)证法一: 连接 6分由题意知,点分别为和的中点,. 7分又平面,平面, 8分平面. 9分证法二:取中点,连,而 分别为与的中点, 平面,平面 平面, 同理可证平面 6分又 平面平面. 7分平面， 8分平面. 9分证法三(向量法): 以点为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.于是,平面向量是平面的一个法向量 6分 7分又平面 8分平面 9分(3)解法一:以点为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.于是, 10分由(1)知是平面的一个法向量,. 11分设平面的法向量为, 12分设向量和向量的夹角为,则 13分二面角的的正弦值为 14分解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连交于点,连,显然,都在同一平面上.易证,平面,平面,又平面.取中点,连,分别是的中点,平面, 10分且为垂足,即平面,过点作于,过作交于,连,则即是所求二面角的补角. 11分在中,在中，又在中， 12分= 13分所求二面角的正弦值为 14分19.(本小题14分)（本小题主要考查数列通项、错位求和与不等式等知识，考查化归与转化、方程的数学思想方法，以及运算求解能力）解: ( 1)设等差数列的公差为,则由题设得:即,解得 1分 2分数列是以为首项,公比为的等比数列. 3分 4分(2)由(1)可得 5分 6分 7分 8分得: 9分 10分(3) 当时, 取最小值, 11分 即 当时，恒成立； 12分当时，由 ，得 ， 13分 实数的取值范围是. 14分20. (本小题满分14分)（本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查数学探究能力以及运算求解能力）解: (1)由题设,设则 1分 . 2分由的面积为,得:,得:4分(2)由题意 5分首先求抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.解法一：设抛物线在处的切线的斜率为,则其方程为 6分联立 得将代入上式得: 7分 8分即 即得 即抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率为9分解法二：由得， 6分 7分抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率为 9分再求直线的斜率.解法一:设直线的斜率为,则由题意直线的斜率为. 10分直线的的方程为,则直线的的方程为. 联立得(1) 11分方程(1)有两个根,即,同理可得 12分直线的斜率. 13分直线的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率. 14分解法二: 10分 11分将分别代入上式得:,整理得. 12分直线的斜率. 13分直线的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率. 14分21. (本小题满分14分)（本小题主要考查导数、函数的单调性、不等式、最值、方程的根等知识，考查化归转化、分类讨论、数形结和的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力）解:(1) 1分时,取得极值, 2分