揭示数学本质是数学教学的灵魂.doc

揭示数学本质是数学教学的灵魂 从“任意角的三角函数”的教学案例谈起张健（江苏省邳州市教育局教研室）普通高中数学课程标准（实验）明确指出：“形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。”这一理念要求教师在教学中要揭示数学本质。本人认为：揭示数学本质是数学教学的灵魂。而在实际教学中，许多教师由于对所教授知识的数学本质感悟不深、理解不透，导致教学变成了漫无目的、信马由缰的活动没有灵魂，徒具形式！下面针对这些问题，从所听的一节公开课“任意角的三角函数”谈起，并试图通过案例分析和重新设计，谈谈在数学教学中如何揭示数学本质的问题，愿与同行磋商。一、教学案例图1师：在初中我们学习了锐角，并且研究了锐角三角函数。上节课我们把锐角推广到了任意角，接下来我们应该研究什么？生：任意角的三角函数。师：如图1，OA、OB分别是角的始边和终边，怎样定义任意角的三角函数呢？生1：连接AB，过点B作BCOA，垂足为C，仿照锐角三角函数的定义可以定义任意角的三角函数为sin= ,cos= ,tan= 。师：A、B两点怎么来的？生1：分别在OA、OB上任意取的。师：O点能取吗？生1：这（教师用几何画板演示角的任意性，并组织学生继续讨论。）图2生2：用角的补角来定义。如图2，在OB上任取一点E，过点E作EFOA交AO的延长线于点F。在RtOFE中，可以定义sin= ,cos= ,tan= 。（学生误认为钝角AOB就是角。）师：角的补角是谁？生2：EOF是角的补角。师：她说的有问题吗？图3生3：角不一定是钝角，它是任意角，只是角的终边在那个位置上！生（惊讶地）：对呀！它不一定有补角啊!生4：我是在平面直角坐标系下定义任意角的正弦的。（在黑板上画图3说明。）生4：以点O为原点，以始边OA为x轴，建立平面直角坐标系。然后在OB上任取一点P(x,y)，于是类比锐角三角函数，我们可以定义任意角的三角函数为sin=,cos=,tan=。师：很好！这样做摆脱了直角三角形的限制，对任意的角都是适用的，因此这样定义任意角的正弦是比较“和谐”的。（教师用几何画板动画演示，然后板书任意角的三角函数的定义。）师：定义中是否需要限制什么条件？生5：我觉得x0，否则tan没有意义了！师：这个条件针对角应该怎样限制呢？生5：角的终边不能落在y轴上。师：这需要把什么样的角去掉呢？生6：x90+k180(kZ)。师：我们昨天学习了弧度制，那这个条件还可以怎样表示呀？生6：x+k(kZ)。二、案例分析在本教学案例中，教师试图通过对初中所学习的“锐角三角函数”的概念的复习，引导学生对如何定义“任意角的三角函数”的概念展开探究，从而突出“概念的形成过程”。从教学的视角看，这节课的教学理念新颖，数学活动充分调动了学生学习的积极性，学生的参与度高，课堂气氛热烈，教学民主，学生的主体地位得到了很好的体现。但从数学的视角看，这节课的教学没有抓住数学概念的本质，特别是当学生的思维“离经叛道”时，教师没有很好地进行引导，使数学活动向着有意义的方向进行，从而导致概念形成过程教学变成了信马由缰的活动，学生在“蒙”和“碰”中前行，漫无目的。问题产生的主要原因是教师没有透彻地领悟概念的本质，教学抓不住“本质”就会变得无的放矢。在本案例中，虽然生4对“任意角的三角函数”的定义给出了比较完美的回答，但这绝不是该生在理解和感悟的基础上给出的。生4的回答可能基于两个原因：一是该生可能是受前面学习的“任意角”的概念（是在平面直角坐标系中研究任意角的）的启发，从而产生了联想；二是该生可能在课前进行了预习，了解了概念的定义方法。总之，生4比较完美的回答，并不是教师在有效预设的基础上所产生的动态生成。应该说，学生对概念的本质还不清楚，对概念的理解还很模糊。我们之所以要定义一个数学概念，无非是出于两个原因：一是它（指数学概念）具有一定的合理性，这种合理性指的就是数学概念的本质属性；二是它有用，正因为它有用，我们才有必要去定义它（为了使用方便）。那么，“任意角的三角函数”概念的本质是什么呢？我们不难发现，当角固定后（也就是角的始边和终边可视为固定），若以它的顶点O为原点，以角的始边为x轴，建立平面直角坐标系，则不论我们在角的终边上如何取一点P(x,y)，总有比值（其中rOP）是三个定值，这三个比值不随点P的变化而变化，这就是“任意角的三角函数”概念的本质。实际上，初中学习的“锐角三角函数”概念的本质也在于此：当锐角固定后，我们以角的两边为边可以构造出无数个直角三角形，但无论我们怎样构造直角三角形，总有比值为三个定值，这就是“锐角三角函数”概念的本质。在本节课的教学中，教师就是要通过数学活动，引导学生把这些本质性的东西揭示出来。通过这样的学习和建构，学生对概念的理解和掌握才能深刻和透彻，同时，展现在学生面前的是带有鲜活思想、富有生命活力的数学概念，而不再是“冰冷”、“生硬”的形式化概念。三、案例重设基于以上的认识，本人认为本节课要设计好两个活动：一是“回顾反思”活动，即通过回顾“锐角三角函数”概念，引导学生反思其“本质”，从而为新概念的学习作铺垫；二是“建构探究”活动，即引导学生在平面直角坐标系中发现和揭示“任意角”中所隐含的“比值不变”规律（即概念的本质），从而为概念的形成创造“水到渠成”的条件。下面是本人指导下的一次教学尝试。师：在初中我们学习了锐角三角函数，它是怎样定义的？生1：是在直角三角形中定义的，sin=, cos=,tan=。师：为什么要这样定义？（目的是要揭示概念的本质。）（学生沉思）师：当锐角是一个定角时，这三个比值如何？生：是定值吧！（很多学生犹豫，不敢确定。）师：当锐角是定值时，以角的两边为边，能构造多少个直角三角形？生：无数个！师：这无数个三角形有什么关系？生：都是相似三角形。图4生2：这些直角三角形都相似，从而在每个直角三角形中的类似上面的对应比值都是相等的。也就是说这三个比值是定值，不随边长的变化而变化。师：对！（教师动画演示图4，验证生2所说的数学事实。）师：由于有“比值不变”这样的规律，我们才定义了“锐角三角函数”的概念。我们已经把角推广到了任意角，能否定义任意角的三角函数？生3：可以把任意角的三角函数转化到直角三角形中去定义。无论角的终边落在哪儿，都能构造一个直角三角形，可以仿照锐角三角函数的定义方法，定义任意角的三角函数。（根据学生的描述，教师画图演示。）师：如果角的终边与始边垂直呢？生3：这个无法定义tan了！师：我们是怎样研究“任意角”的？生：在平面直角坐标系中！生4：可以借助平面直角坐标系来定义吧！（学生思考讨论。）生5：在平面直角坐标系中借助点的坐标来定义！如图3，在OB上任取一点P(x,y)，类似于锐角三角函数，可以定义sin=,cos=,tan=。师：为什么要这样定义？（学生讨论。）生5：因为无论点P在OB的什么位置，由相似三角形的性质可知比值总为三个定值，因此可以用这三个比值定义任意角的三个三角函数。师：很不错！（动画演示。）这个教学过程自然流畅，教师设计的数学活动目标非常明确：就是引导学生感悟和揭示数学本质。学生在充分认识和理解数学本质的基础上，自主地完成了概念的建构，这样的教学，才能使学生真正做到对数学知识的深入理解和准确掌握。四、深入反思北京大学张顺燕教授曾精辟地指出：教学有三境界，即授人以业、授人以法、授人以道。授人以业，就是韩愈说的“授业”，即传授知识给学生，这是教学最基本的要求，它强调了所授知识的准确性问题；授人以法，就是教给学生学习方法，使他们学会学习，它强调了所授知识的深刻性问题；授人以道，就是我们的教学不但要使学生达到知识与方法的融会贯通，而且更要把数学的思想方法、本质规律及内部联系等“灵魂”性的东西揭示出来，并内化给学生，使他们形成能力，为他们的终身发展打下基础，它强调了所授知识的数学本质问题。显而易见，教学的最高境界就是“授人以道”。高境界的数学教学必须揭示数学本质。数学本质是一个数学哲学问题，学术界对它的理解有不同的视角。我们在课堂教学中强调的数学本质，其内涵一般包括：数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼；数学理性精神（依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，以形成概念、判断或推理，这种认识为理性认识。重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系，这种精神称为理性精神）的体验等方面。1那么，在数学教学中如何才能做到揭示数学本质呢？本人认为，教师最重要的是要做好以下两点.1透彻地领悟教材教材为学生的学习活动提供了基本线索，教材是课程的重要资源，是教师教学的依托，是实现教学目标的依据。“用教材教”，教师就要先“入”教材，再“出”教材。没有对教材的“深入”，也就没有对教材的“浅出”。教师对教材钻研得越深，悟出来的道理就越透彻，对教材的把握就越准确，设计出来的教学就会越厚重。“教师对教材的领悟必须有自己的眼光，眼光要深邃，看到的不能只是文字、图表和各种数学公式、定理、法则，而应是书的纤维中跳跃着的真实而鲜活的思想。这种思想就是对数学本质的认识，这种思想给人的感觉就是不在书里，就在书里。”1“一个能思想的人，才是一个力量无边的人”（法国作家巴尔扎克语）。教师只有用心钻研教材，才能准确地理解教材的编写意图，把握所教授内容中的数学本质，从而创造性地使用教材。并在此基础上设计有效的数学活动，将教材中的知识重新“激活”，实现书本知识与人类生活世界的沟通，与学生经验、成长需要的沟通，与发现、发展知识的人和历史的沟通，使知识恢复到鲜活的状态，呈现出生命的活力。教师在把握了教学内容的数学本质以后，也会自然地把注意力从“研究教材”转向“研究学生”，从而实现由“教书”到“育人”的转变。2有效地预设活动数学有三种形态：原始形态、学术形态和教育形态。原始形态是指数学家在探索发现数学真理（或事实）时所进行的曲折、复杂的数学思考；学术形态是指数学家对探索、发现的数学真理（或事实）进行归纳、整理形成文本材料后的一种形态，它呈现出的是“简洁的、冰冷的形式化美丽”；教育形态是指教师通过自己的设计，将学术形态的数学知识有效地“激活”，使学生在学习数学时，能够模仿数学家那样进行“火热的思考”，它是介于原始形态和学术形态之间的一种形态。教材中呈现的数学知识是形式化的（准确的定义，有逻辑的演绎，严密的推理），这种学术形态的数学知识，会使学生感到数学是一个个公式、定理、法则、符号、题目的堆积，“它像石塑一般充满着理性精神的美却显得冰冷和生硬”。但事实上，当我们翻开人类的数学思想史就会发现：在数学“冰冷的逻辑推理之中有一大堆生动的故事”，其“冰冷美丽”的外表下存在着“朴素而火热的思考”2。作为数学教师，要想拉近数学与学生的距离、让学生感受到它的火热，享受数学中生动的故事，就要把数学从学术形态“返璞归真”为教育形态3。要实现“返璞归真”，教师在教学中必须以有效的数学活动为支撑，让学生在数学活动中进行“火热的思考”和主动建构，充分地欣赏和感受数学的美丽和魅力。那么，怎样的数学活动才是有效的呢？有效的数学活动应该是以“揭示数学本质，发展思维能力”（江苏省教研室李善良博士语）为目标的，是能够激发学生进行火热的思考和主动的探究的，是在教师的引导下，学生能够深刻地感悟和揭示数学本质、并自主地完成知识建构的。这就要求教师在设计数学活动时，需要注意以下三点。（1）数学活动要有数学内容。新课程以人的发展为本，提倡向学生提供充分从事数学活动的机会，组织他们主动探索和揭示所学内容的数学本质，并掌握形式化的数学知识。因此，数学课堂应当紧紧围绕教学内容，调动学生原有的经验，给学生以空间和时间，让他们积极有效地探索和解决新的问题，从而获取新的认识。（2）数学活动要让学生有数学思考、有发展变化的体验。数学活动必须是有数学味的活动，是学生经历数学化过程的活动。因此，数学活动的一个重要方面，是要重视让学生从数学层面上来体验、认识所学内容，理解并掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。让学生从数学层面上来理解数学内容的核心就是揭示数学本质，这一点在数学活动中显得尤为重要。（3）数学活动要有恰当的形式。数学活动需要通过学生的操作实验、思考讨论、合作交流等一定的形式来完成，但教师要清楚：教学内容决定着活动的形式，活动的形式服务于教学内容，教学内容的核心是数学本质，活动的最终目的是揭示数学本质，这一点不可以本末倒置。一些数学活动之所以效果不好，其根本原因是教师没有抓住所教授内容的数学本质，数学活动不能围绕揭示数学本质而展开，教师过于追求活动的“花样翻新”，过于追求课堂