全国通用高考数学复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的定点定值最值与范围问题练习理.docx

专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与 范围问题练习 理一、选择题1.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点，则k的取值范围为()A.B.C.D.解析由已知可得直线l的方程为ykx，与椭圆的方程联立，整理得x22kx10，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以8k244k220，解得k或k，即k的取值范围为.答案D2.F1，F2是椭圆y21的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是()A.2 B.1C.2 D.4解析设P(x，y)，依题意得点F1(，0)，F2(，0)，(x)(x)y2x2y23x22，注意到2x221，因此的最大值是1.答案B3.已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是()A.1 B. C. D.解析由椭圆的方程，可知长半轴长a2；由椭圆的定义，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中通径最短，即3，可求得b23，即b.答案D4.(2017榆林模拟)若双曲线1(a0，b0)与直线yx无交点，则离心率e的取值范围是()A.(1，2) B.(1，2C.(1，) D.(1，解析因为双曲线的渐近线为yx，要使直线yx与双曲线无交点，则直线yx应在两渐近线之间，所以有，即ba，所以b23a2，c2a23a2，即c24a2，e24，所以1e2.答案B5.抛物线y28x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(2，0)，则的最大值为()A.1 B. C. D.2解析由点P(x，y)在抛物线y28x上，得y28x(x0).由抛物线的定义可得|PF|x2，又|PA|，所以.当x0时，1；当x0时，因为x24，当且仅当x，即x2时取等号，故x48，01，所以(1，.综上，1，.所以的最大值为.答案B二、填空题6.已知双曲线1(a0，b0)的渐近线与圆x24xy220相交，则双曲线的离心率的取值范围是_.解析双曲线的渐近线方程为yx，即bxay0，圆x24xy220可化为(x2)2y22，其圆心为(2，0)，半径为.因为直线bxay0和圆(x2)2y22相交，所以，整理得b2a2，从而c2a2a2，即c22a2，所以e22.又e1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，).答案(1，)7.已知椭圆1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|PB|的最大值为_.解析在椭圆中，由a5，b4，得c3，故焦点为(3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(3，0)，由椭圆的定义得|PB|PC|10，所以|PA|PB|10|PA|PC|，因为|PA|PC|AC|5，所以当点P，A，C三点共线时，|PA|PB|取得最大值15.答案158.(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_.解析联立方程组解得B、C两点坐标为B，C，又F(c，0)，则，又由BFC90，可得0，代入坐标可得：c2a20，又因为b2a2c2.代入式可化简为，则椭圆离心率为e.答案三、解答题9.(2015陕西)如图，椭圆E：1(ab0)，经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.(1)解由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a，所以椭圆的方程为y21.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2，从而直线AP，AQ的斜率之和 kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.10.(2016重庆诊断二)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的方程.解(1)设F(c，0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1，2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.11.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.()求的值；()求ABQ面积的最大值.解(1)由题意知2a4，则a2，又，a2c2b2，可得b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知椭圆E的方程为1.()设P(x0，y0)，由题意知Q(x0，y0).因为y1，又1，即1，所以2，即2.()设A(x1，y1)，B(x2，y2).将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2，则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积