必修五解三角形章节总结与题型.doc

章末整合提升知识梳理1.正弦定理：=2R，其中R是三角形外接圆半径.2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=.3.SABC=absinC=bcsinA=acsinB,S=Sr(S=,r为内切圆半径)=(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式 (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin,sin=cos 在ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; (2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60； (3)ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.7.解三角形常见的四种类型 (1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180及=，可求出角C，再求b、c. (2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C. (3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理=，求出另一边b的对角B，由C=-(A+B)，求出c，再由=求出C，而通过=求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A90A=90Ab一解一解一解a=b无解无解一解absinA两解无解无解a=bsinA一解a0，cosB，sinB，即a5.(2)由SacsinB，得c5.由cosB，解得b2 .labc102 .理解并掌握正弦定理与三角形面积计算公式的结合要掌握面积与角或边的转换方法 4（2010天津理数）（7）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A=（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由由正弦定理得，所以cosA=，所以A=300【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。5.(2010年天津)在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2b2bc，sinC2 sinB，则A()A30 B60 C120 D150专题二：正、余弦定理、三角函数与向量的综合应用例3. 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（）判断ABC的形状； （）若的值.解：（I）即为等腰三角形.（II） 由（I）知针对练习： 6.（2009岳阳一中第四次月考）.已知中，则（ ） A. B C D 或答案 C7（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值解 （1）因为，又由得， （2）对于，又，或，由余弦定理得， 8.设ABC的三个内角分别为A、B、C，向量m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，若mn 1cos(AB)，则C()A. B. C. D.9.(2010年辽宁)在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA(2ac)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)求sinBsinC的最大值专题三：三角形面积例3在中，,求的值和的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由计算它的对偶关系式的值。 , +得。 得。从而。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？10 (2010年安徽)ABC的面积是30，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，cosA.(1)求；(2)若cb1，求a的值思维突破：(1)根据同角三角函数关系，由cosA得sinA的值，再根据ABC面积公式得bc156；直接求数量积.(2)由余弦定理a2b2c22bccosA，代入已知条件cb1及bc156，求a的值解：由cosA，得sinA.又bcsinA30，bc156.(1)bccosA156144.(2)a2b2c22bccosA(cb)22bc(1cosA)1215625.a5.11（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ， 的取值范围为 . 解析 设由正弦定理得由锐角得，又，故，12.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。 解（I）为锐角， （II）由（I）知， 由得，即又 点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？专题三：解三角形的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生产生活中有着非常广泛的应用常见题有距离问题、高度问题、角度问题以及求平面图形的面积问题等解决这类问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题例4：（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） 解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。 。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。13.如图3，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos的值图3一、本章思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦