最新数学物理方法复习第一节（复数与复数运算）ppt模版课件

1,第一篇 复变函数论,以解析函数为中心，介绍了复变函数的微分，积分， 幂级数，以及利用这些工具研究解析函数特性得到的一 些结果，大体就是实函数微积分相关内容在复函数中的 推广，注意推广前后的异同！,2,1 复数与复数运算,1.复数的基本概念,虚数单位,复数,实部、虚部,纯虚数,两个复数相等,实部和虚部分别相等,第一章 复变函数,代数式,复数平面 实轴 虚轴,复数还可以用复平面上的矢量来表示！,3,复数的三角表示式：,复数的指数表示式：,z模或绝对值：,z的辐角：,辐角不确定.,结论,4,设,共轭复数,定义,5,2.无限远点,N为北极，,S为南极,除去北极N，球面上的点与复平面内,的点一一对应.,除去北极N，球面上的点与,复数一一对应.这种对应叫做,即,因当A点无限地远离原点时,或者说，当复数z的模无限地变大时，,点A就无限地接近于N.,所以，规定：,复平面上有一个唯一的“无穷远点”与N相对应.,相应地，规定：,复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点 N相对应.,记为,测地投影，球叫做复数球,6,7,3.复数的运算,和差,积,交换律结合律,交换律、结合律、分配律,商,除法是乘法的逆运算,8,有的时候采用三角式或者指数式表示更加简单：,辐角不能唯一确定，可以相差 的整数倍,9,定义,棣莫弗(DeMoivre)公式：,10,下面求出w,由棣莫弗公式得：,11,12,例,解,13,若z不在负实轴和原点上，则,复数的加减与向量的加减一致,14,扩充复平面：,复平面（有限复平面）：,包含无穷远点在内的复平面,不包含无穷远点在内的复平面,复数：,实部、虚部、模、辐角的概念均无意义,规定：,如无特殊说明，所谓“平面”一般仍指有限平面，所谓“点”仍指有限平面上的点.,不规定其意义,仍不确定,15,1.2 复变函数,（一）复变函数的定义,在复变函数中，我们重点研究的是解析函数,复变函数的例子,16,（二） 区域的概念,满足一定条件的点集，称为区域,Z0及其邻域不属于点集E，称为该点集的外点,17,闭区域或闭域：,D为有界域：,如果区域D被包含在一个以原点为中心的圆里面，,区域D与它的边界，记为,区域是满足以下条件的点集：,（1）全由内点组成,（2）具有连通性，即点集中的任意两点都可以用一条折线连接 且折线上的点都属于点集,圆形域,环形域,闭圆域,闭环域,18,单连通域与多连通域,连续曲线：,光滑曲线：,曲线,19,简单曲线或若尔当（Jardan）曲线:,简单闭曲线：,没有重点的曲线,简单、闭,简单、不闭,不简单、不闭,不简单、闭,的简单曲线,例：,20,复平面上的一个区域B，如果在其中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于B,多连通域：,单连通域：,非单连通域：,21,（三） 复变函数举例,多项式,有理分式,根式,其中的字母变量都是复常数,22,1.指数函数:,定义域：整个z平面,解析域：定义域，,其它性质：,（周期性）,23,2.对数函数,24,（2）定义域：,解析域：除去原点及负实轴的z平面，,连续域：除去原点及负实轴的z平面,以后，Ln z均指除去原点及负实轴的z平面上的单值分支,其它性质：,25,幂函数：,3.乘幂 与幂函数,乘幂：,26,27,28,4.三角函数和双曲函数,定义域：整个z平面,解析域：定义域，,其它性质：,29,定义域：整个z平面,解析域：定义域，,与三角函数的关系：,其它性质：,30,（繁琐）,31,正弦函数和余弦函数具有实数周期,在实数域中，,复数域中其模为,完全可以大于1,有纯虚数周期,对数函数,由于辐角不能,唯一确定，所以有无限多值。,32,复变函数lnz在z为负实数时仍然有意义！,函数的极限,例,定义：,趋向 的方式是任意的.,注意：,33,两个定理：,定理一,定理二,34,例：,证法1,35,证法2,36,函数的连续性,定义：,37,两个定理：,定理一,定理二,38,有理整函数（多项式）,对复平面内所有的z都是连续的.,对复平面内使分母不为零的点都是连续的.,有理分式函数,P（z），Q（z）为多项式,在闭曲线或包括曲线端点在内的连续函数f(z)是有界的。,39,1.3 导 数,导 数,如极限,则称 在 可导，这个极限值称 为在 的导数.,40,例,解,与实数极限方式不同的是,复数极限复杂的多,41,42,实数 只能沿实轴逼近零，但复数 可以沿复平面上的,任意一条曲线逼近零，复变函数的可导是比实变函数严格得多！ 比较下面两种情形：,沿平行于实轴方向逼近零的情形，,沿平行于虚轴方向逼近零的情形，,43,如果函数f(z)可导，则两个极限必须存在且相等，即,实部和虚部必须分别相等,柯西黎曼方程（C-R条件） 复变函数可导的必要条件,44,柯西黎曼方程只能保证 沿实轴逼近零和虚轴逼近零时,总是逼近同一极限。不是复变函数可导的充分条件。,逼近同一极限，不能保证 沿任意曲线逼近零时，,函数f(z)可导的充分必要条件：函数f(z）的偏导数,存在且连续，且满足柯西黎曼方程,证：由于偏导数连续，二元函数u和v的增量可以写成,各个 随着 趋于零，则,45,在最后一步中，已经考虑到,为有限值，,所有含有 的项随着 而趋于零，根据柯西黎曼 条件，可得,与,的方式无关，故得证。,46,例,解,47,的极限，就得到极坐标系中的柯西黎曼方程,也可以按照直角变换成极坐标的公式变换成极坐标，就可得到 极坐标系中的柯西黎曼方程。,48,1.4 解 析 函 数,上一节我们学习了复数的导数, 导出柯西-黎曼方程,本节我们 学习解析函数的概念 ,49,解析函数的概念,50,解析函数的性质,(1)若函数f(z)=u+iv,在趋于B上解析,则,u(x,y)=C1, v(x,y)=C2,(C1C2为常数)是B上的两组正交曲线族,两边分别相乘,得,即,梯度,正交,分别是曲线u=常数和v=常数的法向矢量, 因此,U=常数和v=常数是互相正交的两曲线族,51,(2)若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则u,v均为B上的调和函数,调和函数指如果某函数H(x,y)在区域B上有二阶连续 偏导数且满足拉普拉斯方程 则称H(x,y)为 区域B上的调和函数.,后边我们将证明,二阶偏导数,存在且连续,对柯西-黎曼方程,前一式子对x求导,后一式子对y求导,相加可以消除v,得到,同理可得,52,以上说明u(x,y)和v(x,y)都满足二维的拉普拉斯方程,即都是 调和函数,又由于是同一个复变函数的实部和虚部,所以又特别 称之为共轭调和函数,已知解析函数的实部（或虚部），利用柯西-黎曼条件 求出相应的虚部(或实部), 从而确定解析函数.,例如：给定u(x,y),求v(x,y),思路：二元函数v(x,y)的微分式是,由柯西-黎曼条件可得,-是全微分,53,可以用下列方法计算出,(1)曲线积分法 全微分的积分与路径无关,可选取特殊积分路径 使积分路径容易算出.,(2)凑全微分法 微分的右端凑成全微分显式,v(x,y)自然求出,(3)不定积分法,以上方法同样适用于从虚部v求实部u的情况,例1,已知解析函数f(z)的实部u(x,y)=x2-y2,求虚部和解析函数,解:,验证u是调和函数,满足拉普拉斯方程,确实是某解析函数 的实部.,54,根据柯西-黎曼条件有,(1)曲线积分法 先计算u的偏导数,由此可得,dv=2ydx+2xdy,右边是全微分,积分值,与路径无关,为便于计算,取如图路径:,C为积分常数,55,(2)凑全微分法 由上已知,dv=2ydx+2xdy,很容易凑成全微分形式d(2xy),则,dv=d(2xy),此时显然有v=2xy+C,实质上也是曲线积分法,在容易凑微分的时候很方便.,(3)不定积分法 上边算出,第一式对y积分,x看做参数,可得,其中 为x的任意函数,再,对x求导,由柯西-黎曼条件知道,从而有,