如何求解代数推理题.doc

肇蚇虿袃蒅蚆袂聿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃芁螆羀聿芀袈膅莈艿薈羈芄莈蚀膄膀莇螂羇肆莆羅蝿蒄莆蚄肅莀莅螇袈芆莄衿肃膂莃蕿袆肈莂蚁肁莇蒁螃袄芃蒀袆肀腿蒀蚅袃膅葿螈膈肁蒈袀羁荿蒇薀膆芅蒆蚂罿膁薅螄膅肇薄袆羇莆薄薆螀节薃螈羆芈薂袁袈膄薁薀肄肀薀蚃袇荿蕿螅肂芅蚈袇袅膁蚈薇肁肇蚇虿袃蒅蚆袂聿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃芁螆羀聿芀袈膅莈艿薈羈芄莈蚀膄膀莇螂羇肆莆羅蝿蒄莆蚄肅莀莅螇袈芆莄衿肃膂莃蕿袆肈莂蚁肁莇蒁螃袄芃蒀袆肀腿蒀蚅袃膅葿螈膈肁蒈袀羁荿蒇薀膆芅蒆蚂罿膁薅螄膅肇薄袆羇莆薄薆螀节薃螈羆芈薂袁袈膄薁薀肄肀薀蚃袇荿蕿螅肂芅蚈袇袅膁蚈薇肁肇蚇虿袃蒅蚆袂聿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃芁螆羀聿芀袈膅莈艿薈羈芄莈蚀膄膀莇螂羇肆莆羅蝿蒄莆蚄肅莀莅螇袈芆莄衿肃膂莃蕿袆肈莂蚁肁莇蒁螃袄芃蒀袆肀腿蒀蚅袃膅葿螈膈肁蒈袀羁荿蒇薀膆芅蒆蚂罿膁薅螄膅肇薄袆羇莆薄薆螀节薃螈羆芈薂袁袈膄薁薀肄肀薀蚃袇荿蕿螅肂芅蚈袇袅膁蚈薇肁肇蚇虿袃蒅蚆袂聿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃芁螆羀聿芀袈膅莈艿薈羈芄莈蚀膄膀莇螂 如何求解代数推理题贵州省龙里中学 洪其强（551200）在解题思维的过程中,既要重视通性通法的演练,也要注意特殊技巧的作用,同时将函数与方程、数形结合、分类与讨论、等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中。要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择恰当的解题方法，要熟悉各种解法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点下面，本文通过典型的问题,来解析代数推理题的解题思路、方法和技巧。1、利用函数模型巧解题在竞赛数学和高考复习资料中，经常会遇到一些不给出具体的函数解析式，只给出函数的一些性质或一些关系式，而要确定这个函数或求函数值，或证明这个函数所具有的性质的函数问题，这类问题综合性比较强、难度比较大，但只要通过紧扣函数模型，熟悉几类基本函数，再通过分析、类比、猜测、推理，即可找出它的函数模型，从而可探索出这类问题的解决方法，拓宽解题思路例1、设函数的定义域关于原点对称，且满足= ,且（1）判断的奇偶性。（2）求证：函数是周期函数。分析：由 = 可知其函数模型为=，由 猜想 ，从而可猜出是奇函数，且是它的一个周期。解：（1）= 令, 则有= 。故函数是奇函数。（2） = =从而 是以为周期的周期函数。2、构造函数法通过构造函数，先求出函数在给定区间上的最值，再求出参数的取值范围，依据的性质是：设函数在给定区间上的最大值是M，最小值是，若不等式在给定区间上恒成立，则；若不等式在给定区间上恒成立，则。例2 已知不等式对于大于或等于1的正整数n恒成立，试确定a的取值范围.解: 构造函数，为增函数. n是大于或等于1的 正整数，要使对一切大于或等于1的正整数恒成立，必须,即3、逆向分析法例3、已知 的单调区间；（2）若解: （1）对已知函 数进行降次裂项变形 , 得 ,（2）首先证明任意事实上,而 .4、反证法：例4、设a，b为常数，：把平面上任意一点（a，b）映射为函数 （1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数； （2）证明：当，这里t为常数； （3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象.解: （1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即与相同，即 对一切实数x均成立.特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.故不存在两个不同点对应同函数.（2）当时，可得常数a0，b0，使由于为常数，设是常数.从而.（3）设，由此得在映射F之下，的原象是（m，n），则M1的原象是.消去t得，即在映射F之下，M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆.5、特殊值法例5、已知函数f(t)满足对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(2)=2. （1）求f(1)的值; （2）证明：对一切大于1的正整数t，恒有f(t)t； （3）试求满足f(t)=t的整数t的个数，并说明理由.讲解 （1）为求f(1)的值，需令令.令. （2）令(A).由,于是对于一切大于1的正整数t，恒有f(t)t. （3）由（A）及（1）可知.下面证明当整数.()得即，将诸不等式相加得 .综上，满足条件的整数只有t=1，.6、化归转化法例6、已知函数f（x）在（1，1）上有定义，且满足x、y（1，1） 有（1）证明：f（x）在（1，1）上为奇函数；（2）对数列求；（3）求证解 （1）令则 令则 为奇函数. （2）， 是以1为首项，2为公比的等比数列 （3） 而 7、数形结合法先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的取值范围。例7、当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。解：令 则对称轴 （1）当 即时，恒成立。满足条件y（2）当 若时，恒有，由二次函数的图象可知： x0 解得 由（1）、（2）知：实数的取值范围是8、用二次函数构造不等式证明问题例8、已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a5分析：回忆二次函数的几种特殊形式设f(x)=ax+bx+c(a0) 顶点式：f(x)=a(x-x)+f(x)(a0)这里(x，f(x)是二次函数的顶点，x=，；交点式：，其中、是使的值；三点式：设、是二次函数图象上的不同三点，则系数、可由证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x)(x-x)，aN依题意知：0x1，0x1，且xx于是有f(0)0，f(1)0又f(x)=ax-a(x+x)x+axx为整系数二次三项式，所以f(0)=axx、f(1)=a(1-x)(1-x)为正整数故f(0)1，f(1)1从而 f(0)f(1)1 另一方面，且由xx知等号不同时成立，所以由、得，a16又aN，所以a59、判别式法把不等式转化为一元二次不等式，利用 的解集为的充要条件是，可以求“在实数集R上恒成立”这一类问题。例9、不等式对一切实数均成立，求实数的取值范围。解：由对一切实数恒成立，从而，原不等式等价于 即 对一切实数恒成立。 解得 故实数的取值范围是（1，3）。10、构造数列的方法例10、已知nN，n1求证分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其“形”，它具有较好规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解则11、换元法和图解法例11、解关于的不等式分析：在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观，形象的图象关系，对含参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰。解：设，原不等式化为，在同一坐标系中作出两函数图象故（1）当（3）当时，原不等式的解集为综上所述，当时，解集为）；当时，解集为时，解集为。12、其它方法例6若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的范围分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含f(-2)的不等式(组)由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx于是解法一(利用基本不等式的性质)不等式组()变形得()所以f(-2)的取值范围是6，10解法二(线性规划法：对于一个线性最值问题，首先应作出约束条件所确定的可行域，则其最值一定在可行域的边界上取到)建立直角坐标系aob，作出不等式组()所表示的区域，如图6中的阴影部分因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10即f(-2)的取值范围是：6f(-2)10解法三(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1f(-1)2，3f(1)4， 所以 33f(-1)6 +得43f(-1)+f(1)10，即6f(-2)10 蚇螆羇薅蒀肅羆芅蚅羁羅莇蒈袇羄蒀蚄螃肄腿蒇虿肃节蚂肈肂蒄蒅羄肁薆螀袀肀芆薃螅聿莈蝿蚁肈蒁薁羀膈膀螇袆膇节薀螂膆莅螅蚈膅薇薈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿膂蒁葿螅膂膁蚅蚁芁芃蒇罿芀莆蚃袅艿蒈蒆螁芈芈蚁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薅薂袈芅芄螈螄袁莇薁蚀羀葿螆羈羀膈蕿袄罿莁螄袀羈蒃蚇螆羇薅蒀肅羆芅蚅羁羅莇蒈袇羄蒀蚄螃肄腿蒇虿肃节蚂肈肂蒄蒅羄肁薆螀袀肀芆薃螅聿莈蝿蚁肈蒁薁羀膈膀螇袆膇节薀螂膆莅螅蚈膅薇薈肇膄芇蒁羃膃荿蚆衿膂蒁葿螅膂膁蚅蚁芁芃蒇罿芀莆蚃袅艿蒈蒆螁芈芈蚁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂