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文档简介

一类应用题的统一解法于兆敏有关应用题中最值问题，在实际条件的约束下，不能仅靠使用重要不等式求出最值，需要借助比较法，把问题转化为与端点值的大小关系问题。例1 某种印刷品，单面印刷，其版面（如图中阴影部分）排成矩形，版面面积为A，它的左右两边都要留宽为a的空白，上下两边都要留有宽为b的空白，且印刷品左右长度不超过定值l。问：如何选择尺寸（纸张也是矩形），才能使印刷品所用纸张面积最小？从而使印刷的总用纸量最小。解：设版面左、右长为x，上、下宽为y则有（x0，y0）设每张印刷品所用纸张面积为S则（1）当时，当且仅当时取“=”号，解得即此时左右长为，上下宽为（2）当时因为所以且所以 当时取等号，即选择左、右尺寸为l，上、下尺寸为用纸量最小。综上所述，当时，选择左右尺寸为时，上、下尺寸为2b+;当时，选择左、右尺寸为l，上、下尺寸为所用纸量最小。例2 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s（千米），水速为常量p（千米/时），船在静水中的最大速度为q（千米/时）（qp）。已知船每小时燃料费用（以元为单位）与船在静水中速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为k。（I）把全程燃料费用y（元）表示为静水中速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（II）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？解：（I）依题意知船由甲地匀速行驶至乙地所用的时间为，全程燃料费用为：，故所求函数及其定义域为：（II）由题意知k、s、v、p、q均为正数，且vp，故有当且仅当，即时上式取等号若，则当时，全程燃料费用y最小。若2pq，当时，有因又所以当且仅当v=q时等号成立，即当v=q时，全程燃料费用最小。综上知，为使全程燃料费用最小，当时，船的实际前进速度为p；当2pq时，船的实际前进速度应为。例3 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时。已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。（I）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解：（I）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为故所求函数及其定义域为：（II）依题意知s，a，b，v都为正数，故有当且仅当时上式中等号成立若时上式中等号成立若时，有 因为，故有所以，且仅当v=c时等号成立。也即当v=c时，全程运输成本y最小。综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c。哈尔滨师范大学（150080）年级高中学科数学版本期数内容标题一类应用题的统一解法分类索引号G
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