江苏省苏州市2019届高三数学上学期期末考试试题.docx

江苏省苏州市2019届高三数学上学期期末考试试题(满分160分，考试时间120分钟)2019.1一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合A1，3，5，B3，4，则集合AB.2. 复数z(i为虚数单位)的虚部是.3. 某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在6080分的学生人数是.4. 连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为.5. 已知3sin()cos ，则tan()的值是.6. 如图所示的流程图中，若输入的a，b分别为4，3，则输出n的值为.7. 在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(3，1)，则该双曲线的离心率为.8. 曲线yx2ex在x0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为.9. 如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为.10. 在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x2y10上的圆的标准方程为.11. 设Sn是等比数列an的前n项和，若，则.12. 设函数f(x)若方程f(x)kx3有三个相异的实根，则实数k的取值范围是.13. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BMDNMN，则的最小值是.14. 设函数f(x)，若对任意x1(，0)，总存在x22，)，使得f(x2)f(x1)，则实数a的取值范围是.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC，E，F分别是A1C1，BC的中点.求证：(1) 平面ABE平面B1BCC1；(2) C1F平面ABE.16. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知2bccos A2ca.(1) 求角B的大小；(2) 设函数f(x)cos xsin(x)，求f(A)的最大值.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为的椭圆E的左顶点为A，点A到右准线的距离为6.(1) 求椭圆E的标准方程；(2) 过点A且斜率为的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于点M，求点M的坐标.18. (本小题满分16分)如图，长途车站P与地铁站O的距离为 千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量，l1，l2的夹角为45，OP与l1的夹角满足tan (其中0)，现要经过P修一条直路分别与道路l1，l2交汇于A，B两点，并在A，B处设立公共自行车停放点.(1) 已知修建道路PA，PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A，B之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修单价分别为n元/千米和2n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A，B点的位置.19. (本小题满分16分)已知函数f(x)ax3bx24a(a，bR).(1) 当ab1时，求f(x)的单调增区间；(2) 当a0时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，求的值；(3) 当a0时，若f(x)ln x的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围.20. (本小题满分16分)定义：对于任意nN*，xnxn2xn1仍为数列xn中的项，则称数列xn为“回归数列”.(1) 已知an2n(nN*)，判断数列an是否为“回归数列”，并说明理由；(2) 若数列bn为“回归数列”，b33，b99，且对于任意nN*，均有bnb0)，半焦距为c，因为椭圆的离心率为，所以，即a2c.因为A到右准线的距离为6，所以a3a6，(2分)解得a2，c1，(4分)所以b2a2c23，所以椭圆E的标准方程为1.(6分)(2) 直线AB的方程为y(x2)，由得x23x20，解得x2或x1，则点B的坐标为(1，).(9分)由题意，得右焦点F(1，0)，所以直线BF的方程为y(x1).(11分)由得7x26x130，解得x1或x，(13分)所以点M坐标为(，).(14分)18. 解：(1) 以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，因为00)，又点B在射线yx(x0)上，所以可设B(b，b)(b0)，由2，得所以(4分)所以A(，0)，B(3，3)，AB.答：点A，B之间的距离为千米.(6分)(2) (解法1)设总造价为S，则SnOA2nOB(OA2OB)n，设yOA2OB，要使S最小，只要y最小.当ABx轴时，A(2，0)，这时OA2，OB2，所以yOA2OB2810.(8分)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x2)1(k0).令y0，得点A的横坐标为2，所以OA2；令xy，得点B的横坐标为.(10分)因为20，且0，所以k1，此时yOA2OB2，y.(12分)当k0时，y在(，1)上递减，在(1，0)上递增，所以yminy|k191时，y2101010.综上，要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点千米处.(16分)(解法2)如图，作PMOA交OB于点M，交y轴于点Q，作PNOB交OA于点N，因为P(2，1)，所以OQ1.因为BOQ45，所以QM1，OM，所以PM1，PNOM.由PMOA，PNOB，得，(8分)所以1.(10分)设总造价为S，则SnOA2nOB(OA2OB)n，设yOA2OB，要使S最小，只要y最小.yOA2OB(OA2OB)()5()9，(14分)当且仅当OAOB时取等号，此时OA3，OB.答：要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点千米处.(16分)19. 解：(1) 当ab1时，f(x)x3x24，f(x)3x22x.(2分)令f(x)0，解得x0或x，所以f(x)的单调增区间是(，)和(0，).(4分)(2) (解法1)f(x)3ax22bx，令f(x)0，得x0或x.(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点，所以f(0)0或f()0.当f(0)0时，得a0，不合题意，舍去；(8分)当f()0时，代入得a()3b()24a0，即()3()340，所以3.(10分)(解法2)由于a0，所以f(0)0，由f(x)0，得x(x0).(6分)设h(x)x，h(x)1，令h(x)0，得x2.当x(，2)时，h(x)0，h(x)单调递增；当x(0，)时，h(x)0，h(x)单调递增.当x0时，h(x)的值域为R，故不论取何值，方程x有且仅有一个根；(8分)当x0时，h(x)minh(2)3，所以3时，方程x恰有一个根2，此时函数f(x)a(x2)2(x1)恰有两个零点2和1.(10分)(3) 当a0时，因为f(x)ln x，所以bx20).当b0时，因为g(x)0，所以g(x)在(0，)上递增，且g(1)b0，所以在(1，)上，g(x)ln xbx20，不合题意；(11分)当b0时，令g(x)0，得x，所以g(x)在(0，)上递增，在(，)上递减，所以g(x)maxg()ln.要使g(x)0有解，首先要满足ln0，解得b.(13分)因为g(1)b0，要使f(x)ln x的解集(m，n)中只有一个整数，则即解得b0，h(x)递增；当x(e，)时，h(x)h(2)，所以.由，得b.(16分)20. 解：(1) 假设数列an是“回归数列”，则对任意nN*，总存在kN*，使anan2an1ak成立，即2n42n22n2k，即32n2k，(2分)此时等式左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以假设不成立，所以数列an不是“回归数列”.(4分)(2) 因为bnbn1，所以bn1bn且bnbn2bn1bn2(bn1bn)bn2.又数列bn为“回归数列”，所以bnbn2bn1bn1，即bnbn22bn1，所以数列bn为等差数列.(6分)因为b33，b99，所以bnn(nN*).(8分)因为bt，所以t(*).因为t30，所以t3.又tN*，所以t1，2，3.(10分)当t1时，(*)式整理为3s0，不成立.(11分)当t2时，(*)式整理为1.设cn(nN*)，因为cn1cn，所以当n1时，cncn1，所以(cn)maxc20)，则(，1，c)，(1，0，0).设平面PBC的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，(3分)则取z11，则y1c，从而n1(0，c，1).设PA与平面PBC所成角为，因为(，0，c)，所以sin |cos ，n1|，解得c2或c2，所以PA1或P