线性代数及概率论与数理统计-多套复习试题压缩打印版(含答案).doc

1.已知正交矩阵P使得，则2设A为n阶方阵，是的个特征根，则det( )= 3设A是矩阵，则方程组对于任意的 维列向量都有无数多个解的充分必要条件是：4 若向量组=（0，4，2），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩不为3，则t=5，则的全部根为：1n阶行列式的值为（ ）A B， C， D，2对矩阵施行一次列变换相当于（ ）。A左乘一个m阶初等矩阵 B右乘一个m阶初等矩阵 C左乘一个n阶初等矩阵 D右乘一个n阶初等矩阵 3若A为mn 矩阵，。则（ ）。A是维向量空间B， 是维向量空间 C，是m-r维向量空间 D，是n-r维向量空间4若n阶方阵A满足， =E，则以下命题哪一个成立（ ）。A， B， C， ， D，5若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。A矩阵-AT为正交矩阵 B矩阵-为正交矩阵C矩阵A的行列式是实数D矩阵A的特征根是实数1若A为3阶正交矩阵， 求det (E-)2计算行列式。3设，求矩阵A-B。4、求向量组的的秩。5、 向量在基下的坐标（4，2，-2），求在下的坐标。四、（12分）求方程组 的通解（用基础解系与特解表示）。五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵六、设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组的一个解，求证对于任意的常数a，线性无关。一 填空题（1） 2 -2 -5*220052.1n3.m=r(A)=r(A,B) n 4.t=-8 5.1,2,-3二 选择题(1) D (2) D (3) D (4) A (5) D三 解答题(1) 3阶的正交矩阵必有一个实特征根，这个特征根为1或者-1所以det (E-)= det （E-A） det （E+A） =0（2） (3)由AB=A-B，有，（4）而 故秩为3。（5）令=+2+=x（+）+y（+）+z（+），则有： 解得： 所求的的坐标为四 解： 原方程组同解下面的方程组： 即令,求解得：（1，1，0，0，0）=。齐次方程组基础解系为：五解：当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系： 当时，由，求得基础解系：单位化：令，则若则。六，证明证：设， 则，于是：即：但，故 =0。从而 =0。但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：线形无关。（1） 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组无解的充分必要条件是：（2） 已知可逆矩阵P使得，则（3） 若向量组=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩为2，则t=（4） 若A为2n阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=（5） 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 = （6） 将矩阵的第i列乘C加到第j列相当于对A：A乘一个m阶初等矩阵B右乘一个m阶初等矩阵 C左乘一个n阶初等矩阵D，右乘一个n阶初等矩阵 （2）若A为mn 矩阵， 是 维 非零列向量，。集合A 是维向量空间B 是n-r维向量空间C是m-r维向量空间D A，B，C都不对（3）若n阶方阵A，B满足， ，则以下命题哪一个成立A， B， C， ， D， （4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：A矩阵为正交矩阵B矩阵 -为正交矩阵C矩阵为正交矩阵D，矩阵 -为正交矩阵（5）4n阶行列式的值为：A，1， B，-1 C， n D，-n 1求向量，在基下的坐标。2设，求矩阵-A 3计算行列式4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。5. 设 计算det A二、 证明题 设是齐次线性方程组的一个基础解系， 不是线性方程组的一个解，求证线性无关。五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 六、（8分） 取何值时，方程组 有无数多个解？并求通解七、（4分）设矩阵，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。1.rankArank(A|B)或者rankArank(A|B)2.3.t= 4. 5.0二 选择题(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A三 解答题(1) 设向量在基下的坐标为，则 （2）(3) （4）（5）四 证明： 五、A=, | |= P= （7分）+ （8分） 六，证明（1） 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有唯一解的充分必要条件是：（2） 已知可逆矩阵P使得，则（3） 若向量组=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩r不为3，则r=（4） 若A为2n+1阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=（5） 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 = （1）将矩阵的第i列乘c相当于对A：A左乘一个m阶初等矩阵B右乘一个m阶初等矩阵 C左乘一个n阶初等矩阵D右乘一个n阶初等矩阵 （2） 若A为mn 矩阵，。集合则A，是维向量空间 B 是n-r维向量空间 C是m-r维向量空间 D， A，B，C都不对（3）若n阶方阵A，B满足， ，则以下命题哪一个成立A， B， C， ， D， 都不对（4）若A是n阶初等矩阵，则以下命题那一个成立：A矩阵为初等矩阵B矩阵 -为初等矩阵 C矩阵为初等矩阵，D，矩阵 -为初等矩阵（5）4n+2阶行列式的值为：A，1，B，-1 C， n D，-n 1求向量，在基下的坐标。2设，求矩阵-A 3计算行列式4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。5. 设 计算det A二、 证明题（10分）设是齐次线性方程组的一个基础解系， 不是线性方程组的一个解，求证线性无关。五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵六、（8分） 取何值时，方程组无解？ 七、（4分）设矩阵，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。二 填空题 每个四分（1） rankA=rank(A|B)=n （2）（3）r=2 （4） 1（5）0二 选择题(1) D (2) C (3) D (4) A (5) B三 解答题(1) 设向量在基下的坐标为，则 (2) (3) （4）（5） 四 证明： 五、A=, (2分) | |= P= （7分）2 七 1. 2. A-D）A(C)A-A(A)TT(B)3.设是维列向量,阶方阵,，则在的个特征值中,必然_(A) 有个特征值等于1(B) 有个特征值等于1(C) 有1个特征值等于1(D) 没有1个特征值等于14.5. 一定无解 可能有解 一定有唯一解 一定有无穷多解1.设是阶方阵A的伴随矩阵，行列式，则 =_2. D中第二行元素的代数余子式的和=_ ,其中D = 3. 已知实二次型正定,则实常数的取值范围为_4. 2阶行列式 ,其中阶矩阵5. 设A=而2为正整数，则三、计算题(每题9分,共54分)1. 计算阶行列式 2. 求矩阵使 3. 设非齐次线性方程组有三个解向量求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中为已知常数)4. 已知实二次型 =经过正交变换,化为标准形,求实参数及正交矩阵5. 设线性方程组为 ，问,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解6. 在四元实向量构成的线性空间中,求使为的基,并求由基的过渡矩阵,其中 1. 设 是欧氏空间的标准正交基,证明:也是的标准正交基2. 设是元实二次型,有维实列向量,使，, 证明:存在维列实向量,使=0一、选择题1.(A) 2.(B) 3.(B) 4.(D) 5.(B) 二、填空题1. ； 2. 0； 3. ； 4.； 5.三、计算题1. 解 各列加到第一列，提出公因式= = 2. 3. 由题设条件知,是的三个解，因此， 是对应的齐次线性方程组的线性无关解向量,因此,系数矩阵的秩2又中有二阶子式，2，因此2 3分因此，为其导出组的基础解系。由此可得线性方程组的通解： ， 为任意常数 9分4.的矩阵有特征值 由2分 A对应的线性无关的特征向量， ， A对应的单位正交特征向量 ， 于是正交变换X = QY中的正交矩阵= 9分 5. 3分 当4时，方程组有唯一解当4，2时，方程组无解5分当4，2时，3 4，方程组有无穷多组解,其通解为， 为任意常数 9分6. 解：设,则 ，设 ,则 1. 证：因为 所以是V的标准正交基。2. 证:是不定二次型,设的正惯性指数为P,的秩为r，则, 2 分可经非退化线性变换化为规范形= 取 ,则有 使= 1设事件A和B的概率为 则可能为（ D ）(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/62. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（ D）(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对3投掷两个均匀的骰子已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ A ）(A) ; (B) ; (C) (D)以上都不对4某一随机变量的分布函数为，(a=0,b=1)则F(0)的值为（ C ）(A) 0.1;(B) 0.5;(C) 0.25; (D)以上都不对5一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ C ）(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对1设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则=_0.85_.2设随机变量，则n=_.3随机变量的期望为，标准差为，则=_.4甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_.5设连续型随机变量的概率分布密度为，a为常数，则