2018_2019高中数学第3章三角恒等变换章末复习学案苏教版.docx

第3章 三角恒等变换章末复习学习目标1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明1两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()coscossinsin.cos()coscossinsin.sin()sincoscossin.sin()sincoscossin.tan().tan().2二倍角公式sin22sincos.cos2cos2sin22cos2112sin2.tan2.3升幂公式1cos22cos2.1cos22sin2.4降幂公式sinxcosx，cos2x，sin2x.5和差角正切公式变形tantantan()(1tantan)，tantantan()(1tantan)6辅助角公式yasinxbcosxsin(x)7积化和差公式sincossin()sin()cossinsin()sin()coscoscos()cos()sinsincos()cos()8和差化积公式sinsin2sincos.sinsin2cossin.coscos2coscos.coscos2sinsin.9万能公式(1)sin.(2)cos.(3)tan.1.两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()2对任意角，sin22sin均不成立()提示如k，kZ，则sin22sin0.3ysinxcosx的最大值为2.()提示ysinxcosxsin，函数最大值为.4存在角，使等式cos()coscos成立()提示如，则cos()cos，coscoscoscoscos，两式相等类型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1已知，为锐角，cos，tan()，求cos的值解是锐角，cos，sin，tan.tantan().是锐角，cos.反思与感悟给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如2，()，()，()()，()()等跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan()的值；(2)求的值解(1)由题可知，cos ，cos .由于，为锐角，则sin ，sin ，故tan ，tan ，则tan().(2)因为tan()1，sin ，sin ，即0，故.类型二整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2求函数f(x)sinxcosxsinxcosx，xR的最值及取到最值时x的值解设sinxcosxt，则tsinxcosxsin，t，sinxcosx.f(x)sinxcosxsinxcosx，g(t)t(t1)21，t，当t1，即sinxcosx1时，f(x)min1，此时，由sin，解得x2k或x2k，kZ.当t，即sinxcosx时，f(x)max，此时，由sin，即sin1，解得x2k，kZ.综上，当x2k或x2k，kZ时，f(x)取得最小值，f(x)min1；当x2k，kZ时，f(x)取得最大值，f(x)max.反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来跟踪训练2求函数ysinxsin2xcosx(xR)的值域解令sinxcosxt，则由tsin知，t，又sin2x1(sinxcosx)21t2，y(sinxcosx)sin2xt1t22.当t时，ymax；当t时，ymin1.函数的值域为.类型三转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例3已知函数f(x)2sin(x3)sin2sin21，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos2x0的值解(1)因为f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x2sin，所以f(x)的最小正周期为.又因为x，所以2x，所以sin，所以f(x)1,2所以f(x)的最大值为2，最小值为1.(2)由(1)可知，f(x0)2sin.又因为f(x0)，所以sin.由x0，得2x0，所以cos，cos 2x0coscoscos sinsin .反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提(2)在三角恒等变换中充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质跟踪训练3已知cos，x，求的值解sin2xtan.x，x2，又cos，sin.tan.sin2xsincos12cos2122.类型四构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用例4已知sinx2cosy2，求2sinxcosy的取值范围解设2sin xcos ya.由解得从而解得1a.故2sin xcos y的取值范围是.反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决跟踪训练4已知关于的方程cossina0在区间(0,2)上有两个不相等的实数解，求cos()的值解设xcos ，ysin ，则有消去y，并整理得4x22axa210.由已知得cos ，cos 是的两个实数解，由根与系数的关系，得sin sin (cos a)(cos a)3cos cos a(cos cos )a2.cos()cos cos sin sin .1已知sincos，那么sin，cos2.答案解析sincos，2，即12sincos，sin，cos212sin2122.2已知是第三象限角，且sin4cos4，则sin2.答案解析由sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos21sin22，得sin22，即sin22.又2k2k(kZ)，4k224k3(kZ)，故sin 2.3已知sincos，sincos，则sin().答案解析由(sincos)2(sincos)2，得2sin()，即sin().4设为锐角，若cos，则sin的值为答案解析为锐角且cos，sin.sin2sincos，cos2cos21，sinsin.5已知函数f(x)cosxsincos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值解(1)由已知，有f(x)cosxcos2xsinxcosxcos2xsin2x(1cos2x)sin2xcos2xsin.所以f(x)的最小正周期为T.(2)因为f(x)在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数，f，f，f，所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为.本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质一、填空题1cos2017cos1583sin2017sin1583.答案1解析原式cos(20171583)cos36001.2函数ysin2xsin2x(xR)的值域是答案解析ysin 2xsin.xR，2xR，sin1,1，函数的值域是.3若tan2tan，则.答案3解析3.4已知tan，且，则.答案解析2cos.tan，tan3，cos.则2cos2.5已知向量a(sin，1)，b(2,2cos)，若ab，则sin.答案解析ab，ab2sin2cos2sin0，sin.，cos.sinsincos.6若3，则cos2sin2的值是答案解析由题意知，tan，则cos2sin2cos2sincos.7函数ysinxcosxcos2x的最大值为答案解析ysin2x(1cos2x)sin，当2x2k(kZ)时，ymax1.8若点P(cos，sin)在直线y2x上，则sin22cos2.答案2解析由题意知，tan2，sin22cos22sincos2cos22sin22.9函数y(acosxbsinx)cosx有最大值2，最小值1，则实数a，b.答案12解析yacos2xbsinxcosxsin2xcos2xsin(2x)，2，1，a1，b2.10若(4tan1)(14tan)17，则tan().答案4解析由已知得4(tantan)16(1tantan)，即4.tan()4.11函数ycos2sin21的最小正周期为答案解析ycos2sin211sin2x，T.二、解答题12已知ABC的内角B满足2cos2B8cosB50，若a，b，且a，b满足：ab9，|a|3，|b|5，为a，b的夹角求sin(B)解2(2cos2B1)8cosB50，4cos2B8cosB30，解得cosB，sinB，cos，sin，sin(B)sinBcoscosBsin.13设函数f(x)sin2xcos.(1)求函数f(x)的最大值及此时x的取值集合；(2)设A，B，C为ABC的三个内角，已知cos B，f，且C为锐角，求sin A的值解(1)f(x)cos 2xsin 2xsin 2x，当sin 2x1时，f(x)max，此时2x2k(kZ)，xk(kZ)，x的取值集合为.(2)fsin C，sin C.C为锐角，C.由cos B，得sin B，sin Asincos Bsin B.三、探究与拓展14若tan32，则.答案解析tan32，tan .又tan