小学奥数 精华讲义汇总

2012 小学奥数精华讲义汇总 第一讲分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型 . 1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题 4、通项归纳法 通项归纳法 也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算， 使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 a b 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a n )，有： 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m n m n N N m n N m n N m n A B = = = （ 1） 本题 10 的约数有： 1， 10， 2， 5 例如：选 1 和 2，有： 1 1 2 1 2 1 1 10 10 (1 2) 10 (1 2) 10 (1 2) 30 15 + = = + = + + + + ； 从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的 m 和 n ，它们的数值虽然不同，但是如果 m 和 n 的比值相同，那么最后得到的 A 和 B 也是相同的本题中，从 10 的约数中任取两个数， 共 有 2 4 C + 4 =10种，但是其中比值不同的只有 5组： (1， 1)； (1， 2)； (1， 5)； (1， 10)； (2， 5)， 所以本题共可拆分成 5 组具体的解如下： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 20 20 11 110 12 60 14 35 15 30 = + = + = + = + = + （ 2） 10 的约数有 1、 2、 5、 10，我们可选 2 和 5： 1 5 2 5 2 1 1 10 10 (5 2) 10 (5 2) 10 (5 2) 6 15 = = = 另外的解让学生去尝试练习 【巩固】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 10 = = + + 【解析】 先选 10的三个约数，比如 5、 2 和 1，表示成连减式 5 2 1和连加式 5 + 2 +1 则： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 10 4 10 20 80 40 16 = = + + 如果选 10、 5、 2，那么有： 1 1 1 1 1 1 1 10 3 6 15 17 34 85 = = + + 另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其 中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了 3 个单位分数 的和或差了比如，要得到 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 10 = + + ，根据前面的拆分随意选取一组，比如 1 1 1 10 12 60 = + ， 再选择其中的一个分数进行拆分， 比如 1 1 1 12 13 156 = + ， 所以 1 1 1 1 10 13 60 156 = + + 【例 22】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 45 = + = = + + = 【解析】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 45 72 120 18 30 405 135 81 9 15 45 = + = = + + = 中小学课外辅导领军品牌 16 - 【巩固】 1 10 = ( ) ( ) 1 1 - ( ) 1 = ( ) ( ) ( ) 1 + 1 + 1 【解析】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 10 4 10 20 80 40 16 = = + + 注：这里要先选 10 的三个约数，比如 5、 2 和 1，表示成连减式 5连加式 5+2+1. 【例 23】 所有分母小于 30并且分母是质数的真分数相加，和是 _。 【解析】 小于 30的质数有 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、 29共十个，分母为 17的真分数相加，和 等于 ( 1 16) ( 2 15) ( 3 14) ( 8 9 ) 8 17 17 17 17 17 17 17 17 + + + + + + + = = 17 1 2 。 类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。因此，所求的和是 1 3 1 5 1 7 1 11 1 13 1 17 1 19 1 23 1 29 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + + + + 1 1 2 3 5 6 8 9 11 14 59 1 2 2 = + + + + + + + + + = 【巩固】 分母为 1996的所有最简分数之和是 _。 【解析】 因为 1996=2 2 499。所以分母为 1996的最简分数，分子不能是偶数，也不能是 499的倍数， 499 与 3 499。因此，分母为 1996 的所有最简真 分数之和是 ( 1 1995) ( 3 1993) ( 501 1495) ( 997 999 ) 1 1 1 498 1996 1996 1996 1996 1996 1996 1996 1996 + + + + + + + = + + + = = 1 1 2 3 5 6 8 9 11 2 + + + + + + + + = 59 1 2 【例 24】 若 1 1 1 2004 a b = + ，其中 a、 b 都是四位数，且 ，数量差为 x ，那么 A 的元素数 量为 ax a b ， B 的元素数量为 bx a b ，所以解题的关键是求出 (a b )与 a或 b 的比值 四、比例题目常用解题方式和思路 解答分数应用题 关键是正确理解、运用单位“ l”。题中如果有几个不同的单位“ 1”，必 须根据具体情况，将不同的单位“ 1”，转化成统一的单位“ 1”，使数量关系简单化，达到解 决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点： 1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量 为单位“ 1”。 2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“ 1”。 中小学课外辅导领军品牌 20 - 3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成 正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反 比例关系，就能找到更好、更巧的解法。 4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。 5. 赋值解比例问题 例题精讲： 模块一、比例转化 【例 25】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的 1 3 ，乙等于甲、丙两数和的 1 2 ， 丙等于甲、乙两数和的 5 7 ，求甲 :乙 :丙 . 【解析】 由甲等于乙、丙两数和的 1 3 ，得到甲等于三个数和的 1 1 3+1 4 = ，同样的乙等于甲、 丙两数和的 1 1 2+1 3 = ， 同样的 丙等于甲、乙两个数和的 5 5 7 5 12 = + ， 所以 : : 1 : 1 : 5 3: 4 : 5 4 3 12 甲乙丙 = = 【例 26】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的 2倍也等于丙的 2 3 ，那么甲的 2 3 、乙 的 2 倍、丙的一半这三个数的比为多少？ 【解析】 甲的一半、乙的 2 倍、丙的 2 3 这三个数的比为 1:1:1，所以甲、乙、丙这三个数的 比为 1 1 : (1 2) : 1 2 2 3 即 2 : 1 : 3 2 2 ，化简 为 4 :1: 3，那么甲的 2 3 、乙的 2 倍、丙 的一半这三个数的比为 4 2 : (1 2) : 3 1 3 2 即 8 : 2 : 3 3 2 ，化简为 16 :12 : 9 . 【例 27】 如下图所示，圆 B 与圆 C 的面积之和等于圆 5 ，且圆 A 中的阴影部分面 积占圆 A 面积的 1 6 ，圆 B 的阴影部分面积占圆 B 面积的 1 5 ，圆 C 的阴影部分面积 占圆 C 面积的 1 3 求圆 A 、圆 B 、圆 C 的面积之比 C B A 【解析】 设 A 与 B 的共同部分的面积为 x ， A 与 C 的共同部分的面积为 y ，则根据题意有 5 ( ) 6( ) 4 A = B +C = x + y ， 5 x = B ， 3 y = C ，于是得到 5 ( ) 6 4 5 3 B +C = B + C ，这条 式子可化简为 B =15C ，所以 5 ( ) 20 4 A = B +C = C :B :C = 20 :15 :1. 【例 28】 某俱乐部男、女会员的人数之比是 3: 2，分为甲、乙、丙三组已知甲、乙、丙 三组的人数比是 10 : 8 : 7 ，甲组中男、女会员的人数之比是 3 :1 ，乙组中男、女会 员的人数之比是 5 : 3求丙组中男、女会员人数之比 【解析】 以总人数为 1，则甲组男会员人数为 10 3 3 10 8 7 3 1 10 = + + + ，女会员为 3 1 1 10 3 10 = ， 中小学课外辅导领军品牌 21 - 乙组男会员为 8 5 1 10 8 7 5 3 5 = + + + ， 女会员为 1 3 3 5 5 25 = ； 丙组男会员为 3 3 1 1 3+2 10 5 10 + = ，女会员为 2 1 3 9 3+2 10 25 50 + = ；所以，丙组中男、女会员人 数之比为 1 : 9 5:9 10 50 = 【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程 队建设了相同多的一段时间后，分别剩下 60% 、 40% 的任务没有完成，已知两个 工程队的工作效率 (建设速度 )之比 3 :1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度 之比 . 【解析】 (法一 )甲工程队以 3倍乙工程队建设速度， 仅完成了 40% 的承包任务，而乙工程队 完成了 60% ， 所以甲工程队承包任务的 40% 等于乙工程队承包任务的 60% 3 =180% ， 所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的 180% 40% = 450%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为 450%:1 = 9 : 2 (法二 )两个工程队完成的工程任务 (修建公路长度 )之比等于工作效率之比，等于 3 :1，而他 们分别完成了各自任务的 40% 和 60% ，所以两个工程队承包的修建公路长度之比 为 (3 40%) : (1 60%) = 9 : 2 【例 29】 某团体有 100名会员，男女会员人数之比是 14 :11，会员分成三组，甲组人数与 乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为 12 :13、 5 : 3 、 2 :1 ， 那么丙组有多少名男会员？ 【解析】 会员总人数 100 人，男女比例为 14 :11，则可知男、女会员人数分别为 56 人、 44 人； 又已知甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为 50 人，乙、丙 人数之和为 50人，可设丙组人数为 x 人，则乙组人数为 (50 x )人，又已知甲组男、 女会员比为 12 :13 ，则甲组男、女会员人数分别为 24 人、 26 人，又已知乙、丙两 组男、女会员比例，则可得： 24 5 (50 ) 2 56 8 3 + x + x = ，解得 x =18即丙组会员 人数为 18 人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为 18 2 12 3 = 人 【例 30】 (2007 年华杯赛总决赛 ) A 、 B 、 C 三项工程的工作量之比为 1: 2 : 3，由甲、乙、 丙三队分别承担三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成 的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三 分之一，丙完成 的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？ 【解析】 根据题意，如果把 A 工程的工作量看作 1，则 B 工程的工作量就是 2 ， C 工程的工 作量就是 3 设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为 x 、 y 、 z k 天，则： ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 3 2 1 3 kx ky ky kz kz = = 将代入，得 2 (4) 3 ky = ， 将代入，得 2 2 2 3 kx = ， 4 7 x k = ， 将 4 7 x k = 代入，得 6 7 y k = 代入，得 3 7 z k = 甲、乙、丙三队的工作效率的连比是 4 : 6 : 3 4 : 6 : 3 7k 7k 7k = 中小学课外辅导领军品牌 22 - 【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖已知：甲、乙两校获一等奖的人数相等； 甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 5 : 6 ；甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和 的 20% ；甲校获 三等奖的人数占该校获奖人数的 50% ；甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人 数的 那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？ 【解析】 由、可知甲、乙两校获奖总人数的比为 6 : 5 ，不妨设甲校有 60 人获奖，则乙 校有 50 人获奖由知两校获二等奖的共有 (60 + 50) 20% = 22人；由知甲校 获二等奖的有 22 (1) 18 人； 由 知甲校获一等奖的有 60 60 50%18 = 12人，那么乙校获一等奖 的也有 12 人，从而所求百分数为 12 50 100% = 24% 【例 31】 某校毕业生共有 9 个班，每班人数相等已知一班的男生人数比二、三班两 个班的女生总数多 1；四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的 男生总数多 1那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？ 【解析】 如下表所示，由知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多 1；由知， 四至九班的男生总数比四、五、六班总人数少 1 一班男生比二、三班女生多 1 人 加上二、三班男生二、三班男生 一、二、三班男生比二、三班总人数多 1 人 七、八、九班男生比四、五、六班女生少 1 人 加上四、五、六班男生四、五、六班男生 四、五、六、七、八、九班男生比四、五、六班总人数少 1 人 因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和，由于每班人数均相 等，则女生总数等于四个班的人数之和所以，男、女生人数之比是 5 : 4 模块二、按比例分配与和差关系 （一）量倍对应 【例 32】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到 16个，而甲、乙两班的 人数比为 13 :11 ，求一共有多少个苹果？ 【解析】 一共有 16 (13 11) (13+11) = 192个苹果 . 【巩固】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为 3: 4 : 6，三人一共藏书 52本， 求他们三人各自的藏书数量 . 【解析】 根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的 3 3 + 4 + 6 、 4 3 + 4 + 6 、 6 3 + 4 + 6 ，所以小新拥有的藏书数量为 52 3 12 3 4 6 = + + 本，小志拥有 的藏书数量为 52 4 16 3 4 6 = + + 本，小刚拥有的藏书数量为 52 6 24 3 4 6 = + + 本 . 【巩固】 在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了 80 元已知甲比丙多捐 18 元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是 10 : 7 ，则甲捐元，乙 捐元，丙捐元 【解析】 由于甲比丙多捐 18 元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多 18 元，那么 甲、乙所捐资的和为： 18 (10 7) 10 = 60(元 )，乙、丙所捐资的和为 60 18 = 42 元所以，甲捐了 80 42 = 38 (元 )，乙捐了 60 38 = 22 (元 )，丙捐了 38 18 = 20 (元 ) 【巩 固】 有 120个皮球，分给两个班使用，一班分到的 1 3 与二班分到的 1 2 相等，求两个 班各分到多少皮球？ 中小学课外辅导领军品牌 23 - 【解析】 根据题意可知一班与二班分到的球数比 1 : 1 3: 2 2 3 = ， 所以一班分到皮球 120 3 72 3 2 = + 个，二班分到皮球 120 72 = 48个 【例 33】 一班和二班的人数之比是 8 : 7，如果将一班的 8名同学调到二班去，则一班和二 班的人数比变为 4 : 5 求原来两班的人数 【解析】 原来 一班的人数为两班总人数的 8 8 8 7 15 = + ，调班后一班的人数是两班人数的 4 4 4 5 9 = + ，调班前后一班人数的比值为 8 : 4 6 : 5 15 9 = ，所以一班原来的人数为 8 (6 5) 6 = 48人，二班原来的人数为 48 8 7 = 42人 . 【例 34】 幼儿园大班和中班共有 32 名男生， 18 名女生已知大班男生数与女生数的比为 5 : 3，中班男生数与女生数的比为 2 :1 ，那么大班有女生多少名？ 【解析】 由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用 鸡兔同笼的方法假设 18名女生全部是大班，则大班男生数：女生数 = 5 : 3 = 30 :18，即男生应有 30 人， 实际上男生有 32人，相差 2 个人；又中班男生数：女生数 = 2 :1= 6 : 3，以 3 个中 班女生换 3 个大班女生，每换一组可增加 1 个男生，所以需要换 2 组；所以，大班 女生有 18 3 2 = 12(名 ) 【巩固】 参加植树的同学共有 720人，已知六年级与五年级人数的比是 3: 2，六年级比 四年级多 80 人，三个年级参加植树的各有多少人 ? 【解析】 假设四年级和六年级人数同样多，则 参加植树的同学共有 720 + 80 = 800人，四、 五、六三个年级的人数比为 3 : 2 : 3 ，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分 配，分别求出三个年级参加植树的人数六年级： 800 3 300 3 2 3 = + + 人；五年级： 800 2 200 3 2 3 = + + 人；四年级： 300 80 = 220人 【巩固】 圆珠笔和铅笔的价格比是 4： 3， 20支圆珠笔和 21支铅笔共用 71 5元问 圆珠笔的单价是每支多少元 ? 【解析】 设圆珠笔的价格为 4，那么铅笔的价格为 3，则 20 支圆珠笔和 21 支铅笔的价格为 20 4+21 3=143，则单位“ 1”的价格为 143=所以圆珠笔的单价是 4=2(元 ) 【例 35】 甲、乙两只蚂蚁同时从 A 点出发，沿长方形的边爬去，结果在 距 B 点 2 厘米的 C 点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的 ，求 这个长方形的周长 【解析】 两只蚂蚁在距 B 点 2 厘米的 C 点相遇，说明乙比甲一共多走了 2 2 = 4 (厘米 )又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的 同时 间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为： 1 6： 5， 所以甲爬的路程是 4 (6 5) 5 = 20 (厘米 )，乙爬的路程是 20 + 4 = 24 (厘 米 )，长方形的周长为 20 + 24 = 44 (厘米 ) 【例 36】 甲乙两车分别从 A， B 两地出发，相向而行出发时，甲、乙的速度比是 5 4， 相遇后，甲的速度减少 20，乙的速度增加 20，这样，当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10千米问： A， B 两地相距多少千米？ 【解析】 甲、乙原来的速度比是 5 4，相遇后的速度比是： 5（ 1 20） 4（ 1 20） 4 4 8 5 6相 遇时，甲、乙分别走了全程的 9 5 和 9 4 。设全程 x 千 米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为 5： 6，其中相遇后甲行驶了全长 C B A 中小学课外辅导领军品牌 24 - 的 4/9，所以乙行驶了全长的 15 5 6 8 9 4 = ，所以乙一共行了全长 45 44 15 8 9 4 + = ， 还剩 1- 45 44 45 1 ，没有走所以 A、 B 全长为 450 千米 . 【例 37】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用 9 分钟，徒弟加工一个零件用 15 分钟完成任务时，师傅比徒弟多加工 100 个零件，求师傅和徒弟一共加工了多 少个零件？ 【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是 1 : 1 5 : 3 9 15 = ，工作时间相同，工作量与工作效率成 正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的 5 5 + 3 和 3 5 + 3 ，师傅和徒弟一共加工了 100 ( 5 3 ) 400 5 3 5 3 = + + 个零件 【巩固】 师徒二人共加工零件 400个，师傅加工一个零件用 9分钟，徒弟加工一个零件 用 15 分钟完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？ 【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是 1 : 1 5 : 3 9 15 = ，而工作时间相同，则工作量与工作效 率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的 5 5 + 3 和 3 5 + 3 ，师傅比徒弟多加工零件 400 5 3 100 5 3 5 3 = + + 个 【例 38】 A 、 B 、 C 三个水桶的总容积是 1440公升，如果 A 、 B 两桶装满水， C 桶是空 的；若将 A 桶水的全部和 B 桶水的 1 5 ，或将 B 桶水的全部和 A 桶水的 1 3 倒入 C 桶， C 桶都恰好装满求 A 、 B 、 C 三个水桶容积各是多少公升？ 【解析】 根据题意可知， A 桶水的全部加上 B 桶水的 1 5 等于 B 桶水的全部加上 A 桶水的 1 3 ， 所以 A 桶水的 2 3 等于 B 桶水的 4 5 ，那么 A 桶水的全部等于 B 桶水的 4 2 6 5 3 5 = ， C 桶水为 B 桶水的 6 1 7 5 5 5 + = 所以 A 、 B 、 C 三个水桶的容积之比是 6 :1: 7 6 : 5 : 7 5 5 = 又 A 、 B 、 C 三个水桶的总容积是 1440 公升， 所以 A 桶的容积是 1440 6 480 6 5 7 = + + 公升， B 桶的容积是 480 5 400 6 = 公升， C 桶的容积是 480 7 560 6 = 公升 【巩固】 学而思学校四五六年级共有 615名学生，已知六年级学生的 1 2 ，等于五年级 学生的 2 5 ，等于四年级学生的 3 7 。这三个年级各有多少名学生学生？ 【解析】 将六年级学生的 1 2 ，等于五年级学生的 2 5 ，等于四年级学生的 3 7 ，看作一个单位， 那么六年级学生人数等于 2 个单位，五年级学生等于 单位，四年级学生等于 7 3 学生，所以六年级、五年级、四年级学生人数的比为 2 5 7 12 15 14 2 3 ： = ： ，所以六 年级学生人数为 615 12 12 15 14 + + =180 人， 五年级学生人数为 中小学课外辅导领军品牌 25 - 615 15 225 12 15 14 = + + 人，四年级学生人数为 615 14 210 12 15 14 = + + 人 【例 39】 一块长方形铁板，宽是长的 4 5 从宽边截去 21 厘米，长边截去 35% 以后，得到 一块正方形铁板问原来长方形铁板的长是多少厘米 ? 【解 析】 如果只将长边截去 35%，宽、长之比为 4 : 5 (1 35%) =16 :13，所以宽边的长 度为 21 (16 13) 16 =112厘米，所以原来铁板的长为 112 4 140 5 = 厘米 【巩固】 一个正方形的一边减少 20%，另一边增加 2米，得到一个长方形，这个长方 形的面积与原正方形面积相等原正方形的边长是多少米 ? 【解析】 要保证面积不变，一边减少 20% ，即是原来的 4 5 ，另一边要变成原来的 5 4 ，即增 加 5 1 1 4 4 = ，所以原正方形的边长为 2 1 8 4 = (米 ). 【例 40】 一把小刀售价 3元如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是 2 : 5 ；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为 8 :13 小明原来有 多少钱？ 【解析】 由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的 5 5 2 5 7 = + ，小明的钱相 当于小明、小强买刀后钱数和的 8 8 8+13 21 = ，所以小明、小强的钱数的比值为 8 : 5 8 :15 21 7 = ，而小明买刀后小明、小强的钱数之比为 2 : 5 = 6 :15，所以小明买刀 前后的 钱数之比为 8 : 6 = 4 : 3，所以小刀的售价等于小明原来钱数的 4 3 1 4 4 = ，所 以小明的钱数为 3 1 12 4 = 元。也可这样看，小明买刀与未买刀的钱数比为 2 : 8 3: 4 7 21 = ，小明的钱数为 4 3 (4 3) =12（元） 【巩固】 甲、乙两人原有的钱数之比为 6 : 5，后来甲又得到 180 元，乙又得到 30 元， 这时甲、乙钱数之比为 18 :11 ，求原来两人的钱数之和为多少？ 【解析】 两人原有钱数之比为 6 : 5 ，如果甲得到 180 元，乙得 到 150 元，那么两人的钱数之 比仍为 6 : 5 ，现在甲得到 180 元，乙只得到 30 元，相当于少得到了 120 元，现在 两人钱数之比为 18 :11 ，可以理解为：两人的钱数分别增加 180 元和 150 元之后， 钱数之比为 18 :15 ，然后乙的钱数减少 120 元，两人的钱数之比变为 18 :11 ，所以 120元相当于 4 份， 1 份为 30 元，后来两人的钱数之和为 30 (18 +15) = 990元，所 以原来两人的总钱数之和为 990 180 150 = 660元 【例 41】 一项机械加工作业，用 4 台 A 型机床， 5 天可以完成；用 4台 台 B 型机床 3 天可以完成；用 3 台 B 型机床和 9 台 C 型机床， 2 天可以完成，若 3 种机 床各取一台工作 5 天后，剩下 A 、 C 型机床继续工作，还需要 _ 天可以完 成作业 【解析】 由于用 4 台 A 型机床 5 天可以完成；用 4 台 A 型机床和 2 台 B 型机床 3 天可以完 成，所以 2 台 B 型机床 3 天完成的量等于 4 台 A 型机床 2 天完成的量，则 A 、 B 两 种机床每天完成的量的比为 (2 3) : (4 2) = 3: 4，即 的量为 3， B 型机床每天完成的量为 4，该项作业总量为 3 4 5 = 60，那么 C 型机床每天完成 的量为 (60 2 4 3) 9 = 2 ， 3 种机床各取一台工作 5 天后，剩下的工作量为 60 (3 + 4 + 2) 5 =15， A、 C 型机床还需继续工作 15 (3 + 2) = 3天 中小学课外辅导领军品牌 26 - 【例 42】 动物园门票大人 20元，小孩 10元六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天 相比，大人增加了 60% ，儿童增加了 90% ，共增加了 2100 人，但门票收入与前一 天相同六一儿童节这天共有多少人入园？ 【解析】 前一天大人与小孩的人数比为 1: (60% 2) = 5 : 6，六一那天增加的大人与增加的小 孩人数比为 (5 60%) : (6 90%) = 5 : 9， 大人增加的人数为 2100 5 750 14 = 人，小 孩增加的人数为 2100 750 =1350人，大人的总数为 750 60%+ 750 = 2000人，小 孩的总人数为 1350 90%+1350 = 2850人，总人数为 2000 + 2850 = 4850人 【例 43】 某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是 1: 2，第一天售出苹果的 20%， 售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是 1: 3 ；第二天售出苹果 18 吨，桃子 12 吨， 这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的 4 15 ，问原有苹果和桃子各有多少 吨？ 【解析】 法一：设原来苹果有 x 吨，则原来桃子有 2x 吨，得： (1 20%) 18 4 2 3 12 15 1 3 x x = + ，解得 x = 37所以原有苹果 37 吨，原有桃子 37 2 = 74 (吨 ) 法二：原来苹果和桃子的吨数的比是 1: 2 ，把原来的苹果的吨数看作 1，则原来桃 子的吨数为 2，第一天后剩下的苹果是 1 (1 20%) 4 5 = ，剩下的桃子是 2 3 3 1 3 2 = + ， 所以此时剩下的苹果和桃子的重量比是 4 : 3 8 :15 5 2 = 现在再售出苹果 18 吨，桃子 12 吨，所剩的苹果与桃子的重量比是 4 :15 这就相当于第一天后剩下的苹果和桃 子的重量比是 8 :15 ，先售出桃子 12 吨，苹果 12 8 32 15 5 = 吨，此时剩下的苹果 和桃 子的重量比还是 8 :15 ，再售出 18 32 58 5 5 = 吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变 为 4 :15 ，所以这 58 5 相当于 8 4 = 4份，最后剩下的桃子有 58 15 87 5 4 2 = 吨，那么第 一天后剩下的桃子有 87 12 111 2 2 + = 吨，原有桃子 111 3 74 2 1 3 = + 吨，原有苹果 74 2 = 37吨 （二）利用不变量统一份数 【例 44】 有一个长方体，长和宽的比是 2 :1，宽与高的比是 3: 2表面积为 72这 个长方 体的体积 . 【解析】 由条件长方体的长、宽、高的比 6 : 3 : 2 ，则长方体的所有视面，上面、前面、左面 的面积比为 (6 3) : (6 2) : (3 2) =18 :12 : 6 = 3: 2 :1，这三个面的面积和等于长方体 表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为 72 1 3 18 3 2 1 = + + ，前面 的面积为 72 1 2 12 3 2 1 = + + ，左面的面积为 720 1 1 6 3 2 1 = + + ，而 18 12 6 =1296 = 362，所以 36即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为 36 【巩固】 有一个长方体，长与宽的比是 2 :1，宽与高的比是 3: 2已知这个长方体的全 部棱长之和是 220 厘米，求这个长方体的体积 【解析】 由条件宽与高的比为 3: 2 1: 2 3 = ，所以这个长方体的长、宽、高的比为 2 :1: 2 3 即 中小学课外辅导领军品牌 27 - 6 : 3 : 2 ，由于长方体的所有棱中，长、宽、高各有 4 条，所以长方体的长为 220 1 6 30 4 6 3 2 = + + 厘米， 宽为 220 1 3 15 4 6 3 2 = + + 厘米， 高为 220 1 2 10 4 6 3 2 = + + 厘米，所以这个长方形的体积为 30 15 10 = 4500立方厘米 . 【例 45】 （ 2009 年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标 准是：大型车 30 元，中型车 15 元，小型车 10 元一天，通过该收费站的大型车和 中型车数量之比是 5 : 6 ，中型车与小型车之比是 4 :11 ，小型车的通行费 总数比大 型车多 270 元（ 1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（ 2） 这天的收费总数是多少元？ 【解析】 大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将 5 : 6 中的 6 与 4 :11 中 的 4统一成 4,6 =12，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比由 5 : 6 =10 :12 和 4 :11 = 12 : 33，得到大型车 :中型车 :小型车 =10 :12 : 33以 10辆大型车、 12辆 中型车、 33 辆小型车为一组因为每组中收取小型车的通行费比大型车多 10 33 30 10 = 30 (元 )，所以这天通过的车辆共有 270 30 = 9 (组 )所以这天通 过大型车有 10 9 = 90 (辆 )，中型车有 12 9 =108 (辆 )，小型车有 33 9 = 297 (辆 ) （ 2）这天收取的总费用为： 30 90 +15 108 + 297 10 = 7290元 【例 46】 6枚壹分硬币摞在一起与 5枚贰分硬币摞在一起一样高， 4枚壹分硬币摞在一起 与 3枚伍分硬币摞在一起一样高用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并 且三个圆柱体一样高，共用了 124 枚硬币，问： 这些硬币的币值为多少元？ 【解析】 由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为 6 : 5 ，壹分硬币和伍分硬币的数量比为 4 : 3 = 6 : 以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为 6 : 5 : 12 :10 : 9 ，因此壹分硬币的数量为 124 12 48 12 10 9 = + + 枚，贰分硬币的数量为 124 10 40 12 10 9 = + + 枚，伍分硬币的数量为 124 9 36 12 10 9 = + + 枚，这些硬币一共 有 48 1+ 40 2 + 36 5 = 308分，即币值为 【例 47】 某工地用 3种型号的卡车运送土方已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为 10 : 7 : 6 ，速度比为 6 : 8 : 9 ，运送土方的路程之比为 15 :14 :14 ，三种车的辆数之比 为 10 : 5 : 7 工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入， 直到 10 天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了 25 天完成任务那么，甲种车 完成的工作量与总工作量之比是多少？ 【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为 15 14 14，速 度之比为 6 8 9， 所以它们运送 1次所需的时间之比为 15 14 14 5 7 14 6 8 9 2 4 9 = ，相同时间内它们运送 的次数比为： 2 4 9 5 7 14 在前 10 天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的 数量之比为 5 5 7由于三种卡车载重量之比为 10 7 6，所以三种卡车的总载重 量之比为 50 35 42 那么三种卡车在前 10 天内的工作量之比为： 50 2 35 4 42 9 20 20 27 5 7 14 = 在后 15 天，由于甲车全部投入使用，所 以在后 15天里的工作量之比为 40 20 27所以在这 25天内，甲的工作量与总工 作量之比为： 20 10 40 15 32 20 20 27 10 40 20 27 15 79 + = ( + + ) +( + + ) 【例 48】 将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友原计划甲、乙、丙三人所得糖果数 的比为 5 : 4 : 3 实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为 7 : 6 : 5 ，其中有一位小 朋友比原计划多得了 15 块糖果那么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或 “丙” )，他实际所得的糖果数为块 中小学课外辅导领军品牌 28 - 【解析】 方法一：原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的 5 12 ， 4 12 ， 3 12 ；实际甲、 乙、丙三人所得糖果数分别占总数的 7 18 ， 6 18 ， 5 18 ，只有丙占总数的比例是增加 的，所以这位小朋友是丙 5 5 3 540 18 12 = (块 )，丙实际所得的糖 果数为 540 5 150 18 = (块 ) 方法二：化通比为： 甲乙丙总数为 原计分配为 5 ： 4 : 3 12 份 实际分配为 7 ： 6 ： 5 18 份 化通比为 15 ： 12 ： 9 36 份 14 ： 12 ： 10 36 份 对比分析甲 15 14，乙 12 12，丙 9 10，发现多得糖果的是丙 所以 15（ 10 9） 10 150（块） 【巩固】 今年儿子的年龄是父亲年龄的 1 4 ， 15 年后，儿子的年龄是父亲年龄的 5 11 今 年儿子多少岁？ 【解析】 方法一：今年儿子 的年龄相当于父子年龄差的 1 1 4 1 3 = ， 15 年后儿子的年龄相当于 父子年龄差的 5 5 11 5 6 = ，所以 15 年相当于父子年龄差的 5 1 1 6 3 2 = ，年龄差为 15 1 30 2 = 岁 0 3 =10岁 . 方法二：今年儿子的年龄是父亲年龄的 1 4 ，所以儿子：父亲 1： 4； 15 年后，儿 子的年龄是父亲年龄的 5 11 ，所以儿子：父亲 5： 11。因为在年龄问题中年龄差不 变所以列表分析为： 儿子父亲年龄差 1 ： 4 3 5 ： 11 6 根据不变 量化通比为 2 ： 8 6 5 ： 11 6 对比分析为： 15（ 5 2） 2 10（岁） 【例 49】 一个周长是 56厘米的大长方形，按图与图所示意那样，划分为四个小长方形 在图中小长方形面积的比是 A :B =1: 2， B :C =1: 2而在图中相应的比例是 A :B =1: 3， B :C =1: 的宽减去 D 的宽所得到的差与 D 的长减 去 D 的长所得到差之比为 1: 3 求大长方形的面积 （ 1） D C B A D C B A 【详解】因为 A :B = 1: 2， B :C = 1: 2，所以 A :C =1: 4； 因为 A :B =1: 3， B :C =1: 3，所以 A :C =1: 9， 中小学课外辅导领军品牌 29 - 设长方形的宽为 a ,长为 b ,得： 3 2 4 3 1 9 4 3 10 5 a a b b = 得 a :b = 2 : 5又 a +b = 56 2 = 28，所以 a = 8， b = 20 所以长方形面积 = 20 8 =160 【例 50】 北京中 学生运动会男女运动员比例为 19 :12，组委会决定增加女子艺术体操项目， 这样男女运动员比例变为 20 :13 ；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为 30 :19 ,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多 15 人，则总运动员人数 为多少？ 【解析】 将运动会最初的运动员人数设为“ 1”，那么男运动员人数为 19 19 19 12 31 = + ，女运动 员人数为 12 31