教学课件PPT随机变量的数学期望.ppt

概率论与数理统计,( mathematical expectation & deviation ),第一讲 随机变量的数学期望,第三讲 协方差与相关系数,第二讲 随机变量的方差,第四章 随机变量的数字特征,第一讲 随机变量的数学期望,数学期望的定义 数学期望的计算法 常用分布的数学期望 数学期望的算子演算性质,引例1 假设一个班共20人, 其中18岁的有6人, 19岁的有10人, 20岁的有4人, 现任取一人观察其岁数,则观察到的岁数x为一随机变量, 不难求出x的分布率如下表所示，计算这个班的学生的平均年龄.,平均年龄 =,引例2 假设 n 个考试成绩中， xi 分的有mi 个( i = 1, 2, , k), 那么平均分 = ?,x1m1+xkmk,平均分 =,n,一、数学期望(或均值)的定义,例如，设离散型随机变量x的分布律为,则x的数学期望为,例1 掷一颗均匀的骰子，以x表示掷得的点数，求x的数学期望。,解 x的分布律为,关于定义的几点说明,(1) e(x)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量x取可能值的真正的平均值, 也称均值.,(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和，不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量x 取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,例2,某种产品每件表面上的疵点数服从参数,的泊松分布,若规定疵点数不超过 1 个为一等品,值 10 元;,疵点数大于 1 个不多于 4 个为二等品,价值 8 元;,疵点数超过 4 个为废品,求:,(1) 产品的废品率;,(2) 产品价值的平均值.,解,由题意知,价,价,因为,所以产品的废品率为,例1,求:,(1) 产品的废品率;,(2) 产品价值的平均值.,解,所以产品价值的平均值为,实例1 商店的销售策略,解,定义,一、数学期望(或均值)的定义,连续型随机变量的数学期望,注：,并非所有随机变量都有数学期望，,由于,发散，,例2,求,解,故,解,因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.,实例2 顾客平均等待多长时间?,例：设随机变量x的分布律为,求随机变量y= x 2的数学期望,二、函数的数学期望(或均值),二、函数的数学期望(或均值),设x是一个随机变量，y=g(x)（g为连续函数）,定理,设x 是一个随机变量，y =g(x )，则,当x 为连续型时，x的密度函数为,当x 为离散型时,x为离散型,x为连续型,例4 已知 x 的分布律如下表所示，试求 e ( x )， e ( x 2 ) .,解,例5 随机变量x 的概率密度,y = 2x 和 z = e -2x 的数学期望。,试求,解,ex. 设国际市场上对我国某种出口商品的每年需,它服从区间,上的均匀分布,每销售出一吨商品,可为国,家赚取外汇 3 万元;,若销售不出,则每吨商品需贮,存费 1 万元,问应组织多少货源,才能使国家收益,最大?,解,显然应要求,达式为,表,解,显然应要求,达式为,表,则,解,从而,解,从而,推广,设随机变量z 是随机变量x,y 的连续函数=g(x,y)，则,ex1. ( x , y ) 的概率密度为, e (x) , e (y ) ； e (xy),试求,ex2. 已知 (x ,y )的联合分布律如下表所示，试求 e ( x )， e ( y ) ， e ( xy )和 e ( xy ).,ex1. ( x , y ) 的概率密度为, e (x) , e (y ) ； e (xy),试求,解,ex1. ( x , y ) 的概率密度为, e (x) , e (y ) ； e (xy).,试求,解,x,y,(1,1),0,y = x,ex1. ( x , y ) 的概率密度为, e (x) , e (y ) ； e (xy),试求,解,x,y,(1,1),0,y = x,ex2. 已知 (x ,y )的联合分布律如下表所示，试求 e ( x )， e ( y ) ， e ( xy )和 e ( xy ).,解,ex2. 已知 (x ,y )的联合分布律如下表所示，试求 e ( x )， e ( y ) ， e ( xy )和 e ( xy ) .,解,注意:,可见,一般讲,三、数学期望的性质,1）设c是常数，则,2) 对任何x，y 有,3) 若 x 与y 相互独立，则,ex3. x 和y 相互独立, 二者的概率密度为,则e (xy ) ( ).,c. 8 / 3 d. 7 / 3,c,a. 4 / 3 b. 5 / 3,ex4. 若x服从0-1分布,求ex,解,ex=0(1-p)+1p=p,ex5. 设xp(), 求e(x).,x的其分布律为px=k=pk(1-p)1-k (k=0,1),解 x的分布律为,四、常用分布的数学期望,ex5 设xp(), 求e(x).,x的数学期望为,即 e(x)=.,解 x的分布律为,试求,e ( x ) .,解,例6 随机变量x 服从二项分布b ( n, p ),设 yi b ( 1, p ) ( i =1, 2, , n )，且各,变量相互独立，则可看出,于是,试求,e (x ).,ex6. 设x r (a, b), 其中常数a, b0.,ex7. 设x e (). 试求e (x ).,试求,e (x ).,解,ex6. 设x r (a, b), 其中常数a, b0.,显然, x的概率密度,解,故,ex7. 设x e (). 试求e (x ).,x的概率密度为,即其概率密度为,例7 随机变量x 服从正态分布n (, 2),其中常数, 20，试求,e (x ).,解,且, 即,可见,又,几种常用的概率分布,分布,参数,分布律或概率密度,数学期望,方差,0-1 分布,二项 分布,泊松 分布,分布,参数,分布律或概率密度,数学期望,方差,均匀 分布,其它