期末复习题——第十、十一章重积分、曲线曲面积分.pdf

高等数学复习题 第十章 重积分 第十一章 曲线积分与曲面积分 高等数学复习题 第十章 重积分 第十一章 曲线积分与曲面积分 第一套 第一套 9.计算9.计算 32 D x y dxdy ，其中 D 是由直线，其中 D 是由直线, , 2yxyxx 所围成的区域 所围成的区域 分析：分析：计算重积分，画图，分析区域类型 计算重积分，画图，分析区域类型 yx 将其识别为：X 型型 yx 2x D02, xxyx 解：解： 32 D x y dxdy 2 32 0 x x dxx y dy 3 2 3 0 3 x x y xdx 3 2 3 0 2 3 x xdx 72 0 2256 3721 x 10.计算10.计算 22 D y xy dxdy ，D 是圆域，D 是圆域 222 (0)xyaa在第二象限的部分 在第二象限的部分 分析：分析：对于圆域或圆环域的积分区域，被积函数形如 对于圆域或圆环域的积分区域，被积函数形如 22 ()f xy，则考虑积分换为 极坐标形式： ，则考虑积分换为 极坐标形式： cos sin xr yr rdxdydrd 积分区域： 积分区域：D ,0 2 ra （外层积（外层积，内层积，内层积r） ） 解：解： 22 D y xy dxdy a 22 0 2 sin( cos )( sin ) a drrrdrr 3 0 2 sin a dr dr a 44 0 2 cos 44 a ra 11.计算二重积分11.计算二重积分 2 2211 00 x xy dxedy 分析：分析：若要直接计算，若要直接计算， 22 xy edy 难求！难求！ 积分区域：圆域（第一象限） ；被积函数形如积分区域：圆域（第一象限） ；被积函数形如 22 ()f xy 极坐标系极坐标系下计算此积分 下计算此积分 1 解：解： 2 2211 00 x xy dxedy 21 2 00 r dedrr 21 2 0 1 () 2 2 r ed r 2 1 0 1 2 2 1 4 r e e 12.证明： 12.证明： 000 ( )() ( ) axa dxf y dyax f x dx 分析：分析：左边左边 二重积分二重积分 右边右边 定积分定积分 肯定是做了一定变换，积掉了内层积分以后的结果，考虑积分换序处理！肯定是做了一定变换，积掉了内层积分以后的结果，考虑积分换序处理！ 解：解： 00 ( ) X- ax dxf y dy 型 0 ( ) Y- aa y dyf y dx 型 yx 0 ( ) a a y f y xdy 0 ( )() a f y ay dy （调换积分变量 （调换积分变量 y 为为 x） ） a 0 ( )() a f x ax dx 得证！ 得证！ 14.计算曲线积分14.计算曲线积分 2 L y dxxdy ，其中，其中 L 是抛物线是抛物线 2 4xy上从点上从点( 5, 3)到到 (0,2)得一段弧 得一段弧 分析：分析：第二类的曲线积分（第二类的曲线积分（关于坐标关于坐标的曲线积分）的曲线积分） 注意：注意：积分区间应该是从积分区间应该是从 起点终点起点终点 解：解： 2 L y dxxdy 2 LL y dxxdy 0 2 2 53 )44()dxdyxy 2302 53 44 23 xy xy 5 40 6 15.计算曲线积分 15.计算曲线积分2 L xds ，其中 L 是抛物线，其中 L 是抛物线 2 (01)yxx 分析：分析：第一类的曲线积分（第一类的曲线积分（关于弧长关于弧长的曲线积分）的曲线积分） 注意：注意：积分区间应该是从积分区间应该是从 小值点大值点小值点大值点 解：解： 2 L xds （积分变量（积分变量 x） ） 2 2 1 0 (21)xdxx 1 2 0 1 1 22 2 0 3 1 2 2 0 214 1 (14)(14) 4 1 2 (14) 4 3 1 (5 51) 6 xx dx xdx x 第二套 第二套 8.计算二次积分8.计算二次积分 211 0 y x dxedy 分析：分析：直接求解，内层积分直接求解，内层积分 2 y edy 积不出来积不出来 考虑考虑积分换序积分换序！ 解：解： 211 0 - X y x dxedy 型 21 00 Y- y y dyedx 型 21 0 0 y y exdy 1 1 21 0 y eydy 21 2 0 1 () 2 y edy 2 1 0 111 (1) 22 y e e 2 3yx 9.交换二次积分 9.交换二次积分 2 412 03 ( , ) x x dxf x y dy 的积分次序 的积分次序 12yx 解：解： 2 412 03 ( , ) X- x x dxf x y dy 型 48 3 0 12 ( , ) Y- y y dyf x y dx 型 10.计算二重积分 10.计算二重积分 22 22 sin() xy xy dxdy 分析：分析：积分区域：圆域；被积函数形如积分区域：圆域；被积函数形如 22 ()f xy 极坐标系极坐标系下计算此积分下计算此积分 解：解： 22 22 sin() xy xy dxdy 2 2 00 sin()rdrdr 22 0 1 2sin() () 2 rd r 2 0 1 2cos() 2 2 r 11.将三重积分11.将三重积分( , , )f x y z dv 化为三次积分，其中化为三次积分，其中为三个坐标面和平面为三个坐标面和平面 21xyz所围成的闭区域 所围成的闭区域 分析：分析：积分区域：四面体 积分区域：四面体 z y 1 1 21xyz 2 1xy 1 2 1 y 1 2 x x 解：解：( , , )f x y z dv 1 1 21 2 2 000 ( , , ) xx y dxdyf x y z dz 13.计算曲线积分13.计算曲线积分 24 (3)(71) L yx dxxydy，其中，其中 L 为半圆为半圆 2 9yx 从点从点 A(3,0)到点(3,0)到点 B(-3,0)的一段弧 (-3,0)的一段弧 分析：分析：直接积分难！直接积分难！ LPdx Qdy 分析： 分析： ? QP xy 解：解： 24 ( , )3, ( , )71P x yyxQ x yxy 求解：求解：734 QP xy 考虑用考虑用格林公式格林公式计算，但格林公式使用前提是：计算，但格林公式使用前提是：封闭曲线 补边： 封闭曲线 补边：: 0, : 33Lyx 24 (3)(71) L L yx dxxydy 4 D dxdy 2 1 4()4318 2 S D L L D : 0, : 33Lyx 补边： 24 (3)(71) L yx dxxydy 3 2 3 18 x dx 故：故： 24 (3)(71) L yx dxxydy 2424 (3)(71)(3)(71) L L L yx dxxydyyx dxxydy 1818 14.验证曲线积分14.验证曲线积分 (1,2) (0,1) (1) xx yedxe dy与路径无关，并计算积分值 与路径无关，并计算积分值 分析：分析：积分和路径无关条件：积分和路径无关条件： LPdx Qdy QP xy 解：解：( , )1, ( , ) xx P x yyeQ x ye x P xy e Q 故积分和路径无关！故积分和路径无关！ 2 选择直线路径：选择直线路径：1y 和1x 1 (1,2) (0,1) (1) xx yedxe dy 1 12 1 01 2 (1) x edxe dy e 15.计算曲线积分15.计算曲线积分sin L yzds， 其中， 其中L为为cos , sin , (02 ) xtytztt 分析：分析：参数方程下的弧长微元参数方程下的弧长微元 222 ( )( )( )dsx ty tz tdt 解：解：sin L yzds 2 22 0 2 (cos )(sin )s n(isin) ttttttd 2 2 0 sin 2ttd 2 0 2 (1cos2 ) 2 2 t dt 1y 1x 16.计算曲面积分16.计算曲面积分 xydydzyzdzdxxzdxdy，其中，其中是区域 是区域 : 1, 0, 0, 0xyzxyz 的整个边界曲面的外侧 的整个边界曲面的外侧 分析：分析：考虑使用考虑使用高斯公式高斯公式 z 1 1 y x 解：解： xydydzyzdzdxxzdxdy ()()() V xyyzxzdxdydz xyz V dxdydzyzx VVV dxdydzdxdydyzxzdxdydz 3 V dxdydzx 对称性 111 000 3 xx y dxdyxdz 1 8 1 V 第三套 第三套 8.计算二重积分8.计算二重积分 D ydxdy其中，其中，D 是由曲线是由曲线 2 1, 0, 0, 1xyxyy所 围成的区域 所 围成的区域 解：解： Y D ydxdy 型 1 1 2 1xy 2 11 00 y dyy dx D 1 2 0 (1) y ydy 3 4 9.交换二次积分 9.交换二次积分 2 1 0 ( , ) x x dxf x y dy yx 2 yx 1 1 1x 解：解： 2 1 0 ( , ) - X x x dxf x y dy 型 0111 10 ( , ) ( , ) Y- yy dyf x y dxdyf x y dx 型 10.计算二重积分 10.计算二重积分(10) D xydxdy 其中， 其中，D： ： 22 4xy 解：解： 积分域：积分域：圆域圆域 极坐标极坐标 (10) D xydxdy 22 00 cossin10drr drr 222222 22 000000 cossin10 40 dr drdr drdrdr 11.求由以下四张平面所围成的四面体的体积 11.求由以下四张平面所围成的四面体的体积 0, 0, 2 , 22xzxy xyz z x+2y=2 y 2 1 x=2y D y 1 2 x x 解：解： 1 V dxdydz 2 2 122 0 2 0 1 xy x x dxdydz 1 3 12.计算三重积分 12.计算三重积分 22 () xydv，其中，其中是由锥面是由锥面 22 5 2 zxy及平面及平面 z = 5 所围成的闭区域 = 5 所围成的闭区域 分析：分析：作图，积分区域在作图，积分区域在 xoy 面的投影为面的投影为圆域圆域，同时被积函数形如，同时被积函数形如 22 ()f xy， 则考虑积分换为 ， 则考虑积分换为 柱面坐标：柱面坐标： cos sin xr yr zz dvdrrd dz 5 5 解：解： 22 () xydv 225 2 5 00 2 2 3 0 5 2(5) 2 8 r dr drr dz rr dr 2 13.计算曲线积分13.计算曲线积分 22 (32)(3) L xy dxxydy，其中，其中 L 是曲线： 是曲线： sin , cos , :0 tt xetyett的一段弧 的一段弧 解：解： 直接算！ 直接算！ 22 (32)(3) L xy dxxydy 222 32()4 LLLL dxxydxxydyy dy 00 222 00 3(sin )2(sin ) (cos ) (sin ) (sin )(cos )(cos )4(cos )(cos ) tttt ttttt d etetet d et etetd etet d et 3 1e 14.计算曲线积分 14.计算曲线积分 3222 (2cos )(12 sin3) L xyyx dxyxx ydy，其中，其中 L 为在抛物线为在抛物线 2 2 xy上由点(0,0)到点上由点(0,0)到点(,1) 2 的一段弧 的一段弧 分析：分析：由抛物线方程由抛物线方程 2 2 xy 2 2 xy 解：解： 3222 (2cos )(12 sin3) L xyyx dxyxx ydy 3222 (2cos )(12 sin3) L yydyyxxxdyxx 322222222 (2cos() ()(12 sin( 22222 )3() L yyyyydyyyydy 222222232 2 (2cos() ()(12 s