2017_2018学年高中数学第三章直线与方程章末综合测评1含解析新人教A版.docx

第三章 直线与方程自我校对0180ktan k1k21k1k2，b1b2|AB|dd(教师用书独具)直线方程及其应用(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单过点A(5，4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5，求直线l的方程【精彩点拨】已知直线过定点A，且与两坐标轴都相交，围成的直角三角形的面积已知求直线方程时可采用待定系数法，设出直线方程的点斜式，再由面积为5列方程，求直线的斜率【规范解答】由题意知，直线l的斜率存在设直线为y4k(x5)，交x轴于点，交y轴于点(0,5k4)，S|5k4|5，得25k230k160(无实根)，或25k250k160，解得k，或k，所以所求直线l的方程为2x5y100，或8x5y200.再练一题1过点P(1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程【解】(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，ykx2.令y0，分别得x1，x.由题意得1，即k1.则直线的方程为yx1，yx2，即xy10，xy20.综上可知，所求的直线方程为x1，x0，或xy10，xy20.直线的位置关系利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分知识常涉及的题型求解时，可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可用如下方法：直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.(1)l1l2时，可令A1B2A2B10，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况；(2)l1l2时，可利用A1A2B1B20直接求参数的值已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.【精彩点拨】已知两直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数的取值，可以利用平行(或垂直)的条件列方程求解【规范解答】法一当m0或2时，两直线既不平行，也不垂直；当m0且m2时，直线l1，l2的斜率分别为：，.(1)若l1l2，则1，解得m.(2)若l1l2，则由，得m1或m3.又当m3时，l1与l2重合，故m3舍去故l1l2时，m1.法二(1)l1l2，m23m0，m.(2)l1l2，3m(m2)0且2m6(m2)，故m1.再练一题2已知点A(2,2)和直线l：3x4y200.(1)求过点A，且和直线l平行的直线方程；(2)求过点A，且和直线l垂直的直线方程【解】(1)因为所求直线与l：3x4y200平行，所以设所求直线方程为3x4ym0.又因为所求直线过点A(2,2)，所以3242m0，所以m14，所以所求直线方程为3x4y140.(2)因为所求直线与直线l：3x4y200垂直，所以设所求直线方程为4x3yn0.又因为所求直线过点A(2,2)，所以4232n0，所以n2，所以所求直线方程为4x3y20.对称问题对称问题主要有两大类，一类是中心对称，一类是轴对称1中心对称(1)两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点P2(2ax1,2by1)，也即P为线段P1P2的中点；特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P(x，y)(2)两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于P对称的点在另外一条直线上，并且l1l2，P到l1、l2的距离相等2轴对称(1)两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程(2)两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称当三条直线l1、l2、l共点时，l上任意点到l1、l2的距离相等，并且l1、l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；当l1l2l时，l1到l的距离等于l2到l的距离已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l的方程【精彩点拨】(1)设点A关于直线l的对称点A的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分，列出方程组求解；(2)转化为点关于直线的对称来解决，求出直线m上一点的对称点，结合直线m与l的交点，用两点式求出直线方程；(3)转化为点关于点的对称问题【规范解答】(1)设对称点A的坐标为(m，n)，由已知可得解得即A.(2)在直线m上取一点，如B(2,0)，则B关于l的对称点必在m上，设对称点为B(a，b)，则由得B.设m与l的交点为N，由得N(4,3)设直线m上的点为(x，y)，由两点式得直线m的方程为，即9x46y1020.(3)法一：在l：2x3y10上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l上易知M(3，5)，N(6，7), 由两点式可得l的方程为2x3y90.法二：设直线l关于点A的对称直线l上的任意一点P(x，y)，则点P(x，y)关于点A(1，2)的对称点P(2x，4y)，点P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.再练一题3求直线l1：2xy40关于直线l：3x4y10的对称直线l2的方程. 【解】解方程组得所以直线l1与l相交，且交点为E(3，2)，E也在直线l2上，在直线l1：2xy40上取点A(2,0)，设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，于是有解得即B.故由两点式得直线l2的方程为2x11y160.数形结合思想数形结合思想是一种重要的思想方法，数形结合的应用大致分为两类：第一类“以数解形”就是有些图形太过于复杂或过于简单，直接观察不易求解，这时需要给图形赋值；第二类“以形助数”借助图形的直观性阐明数之间的关系点P(2，1)到直线l：(13)x(1)y250的距离为d，求d的最大值【精彩点拨】解答本题可以利用运动变化的观点，让直线绕定点转动，观察距离的变化情况，从而得d的最大值【规范解答】直线l的方程可化为xy2(3xy5)0，由解得直线l过定点A.如图，d|PA|.当PAl时，d取最大值|PA|.|PA|，d的最大值为.再练一题4直线l1过点P(1,2)，斜率为，把l1绕点P按顺时针方向旋转30得直线l2，求直线l1和l2的方程【解】设直线l1的斜率为k，倾斜角为.由题意，知直线l1的方程是y2(x1)，即x3y60.k1tan 1，l1的倾斜角1150.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30，得到直线l2的倾斜角215030120，直线l2的斜率k2tan 120，l2的方程为y2(x1)，即xy20.1已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3Bba3C(ba3)0D|ba3|0【解析】若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若A，则ba30.若B，根据斜率关系可知a21，所以a(a3b)1，即ba30.以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件【答案】C2已知点A(0,2)，B(2,0)若点C在函数yx2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A4B3C2D1【解析】设C(t，t2)，由A(0,2)，B(2,0)易求得直线AB的方程为yx2.点C到直线AB的距离d.又|AB|2，SABC|AB|d|t2t2|.令|t2t2|2，得t2t22，t2t0或t2t40，符合题意的t值有4个，故满足题意的点C有4个【答案】A3若直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，则实数m_. 【解析】k1，k2，两直线互相垂直，k1k21，即1，m1.【答案】14在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_【解析】设平