空间两条直线的位置关系.doc

空间两条直线的位置关系知识点一 空间两条直线的位置关系1异面直线 定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。 特点：既不相交，也不平行。理解：“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。“不同在任”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线2空间两条直线的位置关系 相交在同一平面内，有且只有一个公共点； 平行在同一平面内，没有公共点； 异面不同在任何个平面内，没有公共点例1、正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： 直线AM与CC1是相交直线； 直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线； 直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)答案：例2、异面直线是指_ 空间中两条不相交的直线； 分别位于两个不同平面内的两条直线； 平面内的一条直线与平面外的一条直线；不同在任何一个平面内的两条直线变式1、一个正方体中共有对异面直线知识点二 平行直线1公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行.abbcac符号表示： ABCDB11A1C1B1D1ABCDEF2等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 例3、如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分别为AB、BC的中点，求证：EFA1C1.ABCDEFGHABCDEFGH折叠变式1、如图E、F、G、H是平面四边形ABCD四边中点，四边形EFGH的形状是平行四边形吗？为什么？如果将ABCD沿着对角线BD折起就形成空间四边形ABCD，那么四边形EFGH的形状还是平行四边形吗？E1EA1C1B1D1ABCD1例4、如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E1、E分别为A1D1、AD的中点，求证：C1E1B1=CEB知识点三 异面直线1、 异面直线的画法：为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图(l)，若画成如下图(2)的情形，就分不开了，千万不能画成(2)的图形。画平面衬托时，通常画成下图中的情形。2、异面直线的判定异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 判定两条直线为异面直线的常用方法有：定义法：不同在任一平面内的两条直线定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线为异面直线 推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线 反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法，证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即命题的结论成立，3、异面直线所成的角 a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，b /b，直线a和b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角如下图所示异面直线所成角的范围是090； (2)为了求异面直线a，b所成的角，可以在空间中任取一点O，为了简便，点O常常取这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点或异面直线连线中点，也可以是异面直线中某一条上的一个特殊点. 将这个角放入某个三角形中计算这个角的大小，若该三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，便易求此角的大小. (3)我们规定：两条平行直线所成的角为0角，两条相交直线所成的角为这两条相交直线所成的四个角中的锐角（或直角），因此在空间中的两条直线所成的角的范围为(0，90；特别地，若两异面直线所成角为90，则称两异面直线互相垂直； (4)求异面直线所成角的一般步骤是： 构造恰当地选择一个点，用平移法构造异面直线所成的角 证明 证明中所作出的角就是所求异面直线所成的角， 计算通过解三角形（常用余弦定理）等知识，求中所构造的角的大小，结论假如所构造的角的大小为，若090，则即为所求异面直线所成角的大小；若90180，则180即为所求。例5、已知平面，直线直线，求证：直线a和b是异面直线例6、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解：(1)不是异面直线理由如下：M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.又A1AD1D，而D1DC1C，A1AC1C，A1ACC1为平行四边形，A1C1AC，得到MNAC，A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线理由如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B平面CC1D1，C平面CC1D1，BC平面CC1D1，这与BC是正方体的棱相矛盾，假例7、如图21218，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，Aa，Ba，Cb，Dc，求证：AD和BC是异面直线 证法一：（反证法）：假设AD和BC共面，所确定的平面为，那么点P、A、B、C、D都在平面内， 直线a、b、c都在平面内，与已知条件a、b、c不共面相矛盾 AD与BC是异面直线 证法二：（直接用判定定理）： acP， a和c确定一个平面，设为，巳知C平面，B平面，AD平面，BAD， AD和BC是异面直线 变式1、 如图21219，a，b是异面直线，A、Ba，C、Db，E、F分别为线段AC和BD的中点，判断直线EF和a的位置关系，并证明你的结论答案：EF和a是异面直线，可用反证法证明例8、正方体ACl中，E，F分别是A1B1，B1Cl的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小。变式1、空间四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若BCAD2EF，求直线EF与直线AD所成的角。 例9、直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于A30 B45 C60 D90解：C变式1、已知空间四边形ABCD各边长相等，求异面直线AB和CD所成 的角的大小.解：异面直线AB、CD成90角.巩固练习：一、 判断题1. 若三条直线两两平行，则这三条直线必共面 ( )2. 互不平行的两条直线是异面直线 ( )二、 单选题1. 关于异面直线，有下列3个命题：分别在两个不同平面内的两直线是异面直线平面内的一直线与平面外的一直线是异面直线都不在某一平面内的两条直线是异面直线其中真命题的个数是A0 B1 C2 D32. 直线a、b是两条异面直线，A、B与C、D分别为直线a、b上不同的点，则直线AC与BD的关系是A可能相交 B可能平行 C异面 D相交或异面3. 两条异面直线指的是A在空间不相交的两条直线 B分别位于两个不同平面内的两条直线C一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 D不同在任何一个平面内的两条直线4. 下列命题中，真命题的是A两两相交的三条直线共面 B两两相交且不共点的四条直线共面C不共面的四点中可以有三点共线 D边长相等的四边形一定是菱形5. 空间两条互相平行的直线，指的是A在空间没有公共点的两条直线B分别在两个平行平面内的两条直线C位于同一平面内且没有公共点的两条直线D分别与第三条直线成等角的两条直线6. 平面M、N相交于EF，分别在平面M、N内作EAC=FBD，则AC和BD的关系是A异面 B平行 C相交 D不确定7. 直线a和b是异面直线，直线ca，那么b与cA异面 B不异面 C相交 D异面或相交8. 如果一条直线和两条异面直线都相交，那么它们可确定A4个平面 B3个平面C2个平面 D1个平面9. 若m和n是异面直线，n和l也是异面直线，则A当ml=时，m与l异面 Bml=C当m与l共面时，ml Dm与l相交、异面、平行都可能10若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D过点P有且仅有一条直线与l、m都异面11过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A1条 B2条 C3条 D4条三、 填空题1. “直线a、b异面”的否定说法是“_”2. 不平行的两条直线的位置关系是_3. “直线a、b相交”的否定说法是“_”4. 过已知直线外一点，可以作_条直线与已知直线垂直5. 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是_6. 已知直线a和b是异面直线，直线c和a平行而不和b相交，则c和b的位置关系是_7. 直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系是_8. “直线a、b异面”还可以说成“直线a、b既不_，又不_”9. 空间有三条直线a、b、c，如果ba，ca，那么直线b、c的位置关系是_10. 和两条异面直线中的一条相交的直线与另一条直线的位置关系是_11. 已知直线a、b、c满足ab，b与c是异面直线，则a与c的位置关系是_12. 正方体ABCDA1B1C1D1中，与侧面对角线AD1成异面直线的棱共有_条，它们分别是_13. 正方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AB成异面直线的棱共有_条，它们分别是_14. 正方体的12条棱中，互为异面直线的有_对.答案一、 判断题1. 2. 二、 单选题1. A 2. C 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 8. C 9. D 10.B 11.D三、 填空题1. a、b共面 2. 相交或异面 3. a、b不相交或a、b无公共点4. 无数 5. 平行或相交或异面 6. 异面 7. 相交或平行 8. 相交，平行9. 平行或相交或异面 10. 相交或平行或异面 11. 相交或异面12. 6；BC，B1C1，BB1，CC1，DC，A1B1 13. 4；A1D1，B1C1，CC1，DD114. 24空间两条直线的位置关系1. 已知直线都在平面外, 则下列推断错误的是（ ）A BC D【答案】C2. 已知直线l平面，P，那么过点P且平行于l的直线()A只有一条，不在平面内B只有一条，在平面内C有两条，不一定都在平面内D有无数条，不一定都在平面内【答案】B3. 下列命题正确的是（ ）A若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C4. 下列四个条件中,能确定一个平面的是（ ）A. 一条直线和一个点 B.空间两条直线C. 空间任意三点 D.两条平行直线【答案】D5. 在平整的地面上任意放一根笔直的钢管,则在地面上必存在直线与钢管所在的直线()A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直【答案】D6. 平行于同一平面的两条直线的位置关系（ ）A平行 B相交 C异面 D平行、相交或异面【答案】D7. 下列命题中，错误的是()A三角形的两条边平行一个平面，则第三边也平行于这个平面B平面 平面，a，过内的一点B有惟一的一条直线b，使ba.C，、的交线为a、b、c、d，则abcd.D一条直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行【答案】D8. 直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）A内所有直线与异面 B内不存在与平行的直线C内存在唯一的直线与平行 D内的直线与都相交【答案】B9. 正三棱锥P-ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为450，则点A到侧面PBC的距离是（ ）A. B. C. D.【答案】D10. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）A B C D【答案】D11. 已知直线，平面，且，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题的个数为( )A1 B2 C3 D4【答案】B12. 设、是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给定下列四个命题：若，则； 若，则；若，则； 若，则其中真命题的是（ ）A和 B和 C和 D和【答案】B13. 如图，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ）ABCFA与垂直B与垂直 C与异面D与异面【答案】D14. 异面直线a、b，ab，c与a成30角，则c与b成角的范围是( )A. B. C. D. 【答案】A15. 在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D所成的角的大小（ ）ABCD【答案】D16. 已知空间直角坐标系中，O为原点，A（0，0，3），B（0，4，0），C（5，0，0）则经过O、A、B、C四点的球的体积为（ ）ABCD【答案】17. 设m,n是两条不同直线,是两个不同的平面,给出下列四个命题若若若其中正确的命题是( )A.B.C.D.【答案】D18. 已知直线和平面，（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D19. 在下列条件下，可判断平面与平面平行的是（ ）A. 、都垂直于平面B. 内不共线的三个点到的距离相等C. l,m是内两条直线且l,mD. l,m是异面直线,且l,m,l,m 【答案】D20. 设是空间两条不同直线，是空间两个不同平面，当时,下列命题正确的是A若，则 B若，则C若，则 D若，则【答案】C21. 已知直线、,平面，则下列命题中：若，,则 若，,则若，,则 若，, ,则，其中真命题有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个【答案】B22. 如图1所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图2所示，那么，在四面体AEFH中必有()AAHEFH所在平面 BAGEFH所在平面CHFAEF所在平面 DHGAEF所在平面【答案】A23. 如图，平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD将ABD折起，使面ABD面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C24. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN,给出以下结论:AA1MN 异面直线AB1,BC1所成的角为60 四面体B1-D1CA的体积为A1CAB1,A1CBC1,其中正确的结论的个数为（）A4 B3C2D1【答案】A 25. 已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A平行 B垂直 C斜交 D不能确定【答案】B26. 已知两个不重合的平面，给定以下条件：内不共线的三点到的距离相等；是内的两条直线，且；是两条异面直线，且；其中可以判定的是 （ ）A B C D【答案】D27. 如图所示，在空间四边形ABCD中，ABBC，CDDA，E、F、G分别为CD、DA和AC的中点求证：平面BEF平面BGD.【答案】ABBC，CDAD，G是AC的中点，BGAC，DGAC.AC平面BGD.又EFAC，EF平面BGD.又EF？平面BEF，平面BDG平面BEF. 28. 已知三条不重合的直线，两个不重合的平面，有下列命题：若，且，则 若，且，则若，则 若，则其中真命题的个数是（ ）A4 B3 C2 D1【答案】C29. 若M、N分别是ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面的位置关系是（ ）A.MN B.MN与相交或MN C. MN或MN D. MN或MN与相交或MN【答案】C30. 空间三条直线