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第六章 平面向量与复数 第31课 平面向量的数量积与平面向量应用课时分层训练A组基础达标(建议用时:30分钟)一、填空题1在边长为1的等边ABC中,设a,b,c,则abbcca_.依题意有abbcca.2(2017启东中学高三第一次月考)已知向量a(1,m),b(3,2),且(ab)b,则m_.8a(1,m),b(3,2),ab(4,m2)由(ab)b可知,(ab)b0.即122(m2)0,m8.3已知点A(0,1),B(2,3),C(1,2),D(1,5),则向量在方向上的投影为_(1,1),(3,2),在方向上的投影为|cos,.4(2017盐城模拟)已知|a|4,|b|2,且a与b夹角为120,则(a2b)(ab)_.12|a|4,|b|2,ab42cos 1204.(a2b)(ab)a23ab2b21612812.5已知平面向量a与b的夹角为,a(1,),|a2b|2,则|b|_. 【导学号:62172168】2由题意得|a|2,则|a2b|2|a|24|a|b|cosa,b4|b|22242cos |b|4|b|212,解得|b|2(负舍)6(2017南通模拟)已知向量a,b满足a(4,3),|b|1,|ab|,则向量a,b的夹角为_a(4,3),|a|5,又|ab|ab|2a2b22ab,即212512ab,ab.设a,b的夹角为,则cos .又0,.7在ABC中,若,则点O是ABC的_(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)垂心,()0,0,OBCA,即OB为ABC底边CA上的高所在直线同理0,0,故O是ABC的垂心8已知向量与的夹角为120,且|3,|2.若,且,则实数的值为_. 【导学号:62172169】因为,所以0,所以()0,即()()0.因为向量与的夹角为120,|3,|2,所以(1)|cos 120940,解得.9(2017南京一模)如图313,在ABC中,ABAC3,cosBAC,2,则的值为_图3132,()()()2299336312.10(2016天津高考改编)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连结DE并延长到点F,使得DE2EF,则的值为_如图所示,.又D,E分别为AB,BC的中点,且DE2EF,所以,所以.又,则()2222.又|1,BAC60,故11.二、解答题11在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1)(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(t)0,求t的值. 【导学号:62172170】解(1)由题设知(3,5),(1,1),则(2,6),(4,4)所以|2,|4.故所求的两条对角线长分别为4,2.(2)由题设知(2,1),t(32t,5t)由(t)0,得(32t,5t)(2,1)0,从而5t11,所以t.12已知|a|4,|b|3,(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角;(2)求|ab|;(3)若a,b,求ABC的面积解(1)(2a3b)(2ab)61.4|a|24ab3|b|261.又|a|4,|b|3,644ab2761,ab6.cos ,又0,.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213,|ab|.(3)与的夹角,ABC.又|a|4,|b|3,SABC|sinABC433.B组能力提升(建议用时:15分钟)1(2017南通一模)已知边长为4的正三角形ABC,AD与BE交于点P,则的值为_图3143以BC为x轴,AD为y轴,建立坐标系,B(2,0),C(2,0),A(0,2),P(0,)所以(2,)(0,)3.2设向量a(a1,a2),b(b1,b2),定义一种向量积ab(a1b1,a2b2),已知向量m,n,点P(x,y)在ysin x的图象上运动,Q是函数yf(x)图象上的点,且满足mn(其中O为坐标原点),则函数yf(x)的值域是_设Q(c,d),由新的运算可得mn,由消去x得dsin ,所以yf(x)sin ,易知yf(x)的值域是.3(2017如皋市高三调研一)如图315所示,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴,y轴正半轴(含坐标原点)滑动,其中AD4,AB2.图315(1)若DAO,求|;(2)求的最大值解(1)由题意可知点A(2,0),D(0,2),B(3,),C(,3),所以|(,5)|2.(2)过点B作BMAO,垂足为M,过点C作CNOD,垂足为N,设DAO,则CDN,ABM,所以点A(4cos ,0),D(0,4sin ),B(4cos 2sin ,2cos ),C(2sin ,4sin 2cos ),则(4cos 2sin ,2cos )(2sin ,4sin 2cos )16sin cos 4sin24cos248sin 2,()max12.4在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(ac)c.(1)求角B的大小;(2)若|,求ABC面积的最大值解(1)由题意得(ac)cos Bbcos C.根据正弦定理得(sin Asin C)cos Bsin Bcos C,所以sin Acos Bsin(CB),即sin Acos Bsin A,因为A(0,),所以sin A
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