2018届高三数学复习平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题夯基提能作业本文.docx

第九节圆锥曲线的综合问题A组基础题组1.(2015课标,20,12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,点(2,2)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.2.(2016山西太原模拟)已知椭圆M:x2a2+y23=1(a0)的一个焦点为F(-1,0),左,右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.(1)当直线l的倾斜角为45时,求线段CD的长;(2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.3.(2016吉林长春模拟)设F1、F2分别是椭圆E:x24+y2b2=1(b0)的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动点,且的最大值为1.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=ky-1与椭圆E交于不同的两点A、B,且AOB为锐角(O为坐标原点),求k的取值范围.B组提升题组4.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1l,且l1和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点,并求出定点坐标.5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F2(2,0),点P1,-153在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为-1的直线l与椭圆C相交于M,N两点,使得|F1M|=|F1N|(F1为椭圆的左焦点)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.答案全解全析A组基础题组1.解析(1)由题意有a2-b2a=22,4a2+2b2=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为x28+y24=1.(2)证明:设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入x28+y24=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=x1+x22=-2kb2k2+1,yM=kxM+b=b2k2+1.于是直线OM的斜率kOM=yMxM=-12k,即kOMk=-12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.2.解析(1)由题意知c=1,b2=3,所以a2=4,所以椭圆M的方程为x24+y23=1,易求得直线方程为y=x+1,联立方程,得x24+y23=1,y=x+1,消去y,得7x2+8x-8=0,=2880,设C(x1,y1),D(x2,y2),所以x1+x2=-87,x1x2=-87,所以|CD|=2|x1-x2|=247.(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-1,此时ABD与ABC的面积相等,|S1-S2|=0;当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x+1)(k0),联立方程,得x24+y23=1,y=k(x+1),消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,=(8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)=144k2+1440,故x1+x2=-8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,此时|S1-S2|=2|y2|-|y1|=2|y2+y1|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=12|k|3+4k2,因为k0,所以|S1-S2|=123|k|+4|k|=12212=3k=32时等号成立,所以|S1-S2|的最大值为3.3.解析(1)解法一:易知a=2,c=4-b2,0b24,所以F1(-4-b2,0),F2(,0),设P(x,y),则=(-4-b2-x,-y)(4-b2-x,-y)=x2+y2-4+b2=x2+b2-b2x24-4+b2=1-b24x2+2b2-4.因为x-2,2,所以当x=2,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值1,即1=1-b244+2b2-4,解得b2=1.故所求椭圆E的方程为x24+y2=1.解法二:由题意知a=2,c=4-b2,0b20,故y1+y2=2kk2+4,y1y2=-3k2+4.又AOB为锐角,故=x1x2+y1y20,又x1x2=(ky1-1)(ky2-1)=k2y1y2-k(y1+y2)+1,所以x1x2+y1y2=(1+k2)y1y2-k(y1+y2)+1=(1+k2)-34+k2-2k24+k2+1=-3-3k2-2k2+4+k24+k2=1-4k24+k20,所以k214,解得-12k0),则FD的中点坐标为p+2t4,0.又|FA|=|FD|,则由抛物线的定义知,当点A的横坐标为3时,有3+p2=t-p2,解得t=3+p或t=-3(舍去).此时,由题意得p+2t4=3,可得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y00),D(xD,0)(xD0),因为|FA|=|FD|,所以x0+1=|xD-1|,结合xD0,x00得xD=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率kAB=-y02.因为直线l1和直线AB平行,所以可设直线l1的方程为y=-y02x+b,与抛物线方程联立,消去x得y2+8y0y-8by0=0,由题意可知=64y02+32by0=0,得b=-2y0.设E(xE,yE),则yE=-4y0,xE=4y02,当y024时,kAE=yE-y0xE-x0=-4y0+y04y02-y024=4y0y02-4,可得直线AE的方程为y-y0=4y0y02-4(x-x0),结合y02=4x0,整理可得y=4y0y02-4(x-1),则直线AE恒过点F(1,0).当y02=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0).所以直线AE过定点F(1,0).5.解析(1)解法一:椭圆C的右焦点为F2(2,0),c=2,椭圆C的左焦点为(-2,0).由于点P1,-153在椭圆上,故由椭圆的定义可得2a=(1+2)2+-1532+=969+249=26,解得a=6,b2=a2-c2=6-4=2,椭圆C的标准方程为x26+y22=1.解法二:椭圆C的右焦点为F2(2,0),c=2,故a2-b2=4,又点P1,-153在椭圆C上,则1a2+159b2=1,故1b2+4+159b2=1,化简得3b4+4b2-20=0,得b2=2,所以a2=6,椭圆C的标准方程为x26+y22=1.(2)不存在.理由如下:假设存在满足条件的直线l,设直线l的方程为y=-x+t,由x26+y22=1,y=-x+t得x2+3(-x+t)2-6=0,即4x2-6tx+(3t2-6)=0,由=(-6t)2-44(3t2-6)=96-12t20,解得-2t22.设M(x1,y1),N(x2,y2)