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第3章 数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理学业分层测评 新人教B版选修4-5 (建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1.满足122334n(n1)3n23n2的自然数n()A.1B.1或2C.1,2,3D.1,2,3,4【解析】经验证当n1,2,3时均正确,但当n4时,左边1223344540,而右边34234228,故选C.【答案】C2.某个与正整数n有关的命题,如果当nk(kN且k1)时命题成立,则一定可推得当nk1时,该命题也成立.现已知n5时,该命题不成立,那么应有()A.当n4时该命题成立B.当n6时该命题成立C.当n4时该命题不成立D.当n6时该命题不成立【解析】若n4时命题成立,由递推关系知n5时命题成立,与题中条件矛盾,n4时,该命题不成立.【答案】C3.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)()A.B.C.2D.【解析】nk到nk1时,内角和增加.【答案】B4.用数学归纳法证明:123(2n1)(n1)(2n1)时,在验证n1成立时,左边所得的代数式为()A.1B.13C.123D.1234【解析】当n1时左边所得的代数式为123.【答案】C5.一个与自然数n有关的命题,当n2时命题成立,且由nk时命题成立推得nk2时命题也成立,则()A.该命题对于n2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取什么值无关D.以上答案都不对【解析】由题意n2时成立可推得n4,6,8,都成立,因此所有正偶数都成立,故选B.【答案】B二、填空题6.用数学归纳法证明:设f(n)1,则nf(1)f(2)f(n1)nf(n)(nN,且n2)第一步要证明的式子是_.【解析】n2时,等式左边2f(1),右边2f(2).第一步要证明的式子是2f(1)2f(2).【答案】2f(1)2f(2)7.用数学归纳法证明“nN,n(n1)(2n1)能被6整除”时,某同学证法如下:(1)n1时1236能被6整除,n1时命题成立.(2)假设nk时成立,即k(k1)(2k1)能被6整除,那么nk1时,(k1)(k2)(2k3)(k1)(k2)k(k3)k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3).k,k1,k2和k1,k2,k3分别是三个连续自然数.其积能被6整除.故nk1时命题成立.综合(1)(2),对一切nN,n(n1)(2n1)能被6整除.这种证明不是数学归纳法,主要原因是_.【答案】没用上归纳假设8.设f(n)1(nN),则f(n1)f(n)等于_. 【导学号:38000057】【解析】因为f(n)1,所以f(n1)1,所以f(n1)f(n).【答案】三、解答题9.已知f(n)(2n7)3n9,是否存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n)?如果存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.【解】存在,m36.证明如下:(1)当n1时,f(1)36,能被36整除;(2)假设当nk(kN,且k1)时,f(k)能被36整除,即f(k)(2k7)3k9能被36整除,则当nk1时,f(k1)2(k1)73k193(2k7)3k918(3k11).由归纳假设3(2k7)3k9能被36整除,而3k11是偶数,所以18(3k11)能被36整除,所以f(k1)能被36整除.由(1)(2),得f(n)能被36整除,由于f(1)36,故能整除f(n)的最大整数是36,即m36.10.设数列an的前n项和为Sn,且方程x2anxan0有一根为Sn1,n1,2,3,.(1)求a1,a2;(2)猜想数列Sn的通项公式,并给出严格证明.【解】(1)Sn1是方程x2anxan0的一个根,(Sn1)2an(Sn1)an0,(Sn1)2anSn0,当n1时,a1,当n2时,a2.(2)由(1)知S1a1,n2时,(Sn1)2(SnSn1)Sn0,Sn.此时当n2时,S2;当n3时,S3.由猜想可得,Sn,n1,2,3,.下面用数学归纳法证明这个结论.当n1时,a1S1,显然成立.假设当nk(kN,且k1)时结论成立,即Sk.当nk1时,由知Sk1,Sk1.当nk1时式子也成立.综上,Sn,n1,2,3,对所有正整数n都成立.能力提升1.用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程中,第二步nk时等式成立,则当nk1时应得到()A.12222k22k12k11B.12222k2k12k12k1C.12222k12k12k11D.12222k12k2k11【解析】由条件知,左边是从20,21一直到2n1都是连续的,因此当nk1时,左边应为12222k12k,从右边应为2k11.【答案】D2.用数学归纳法证明:(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)时,从“k到k1”左边需增乘的代数式是()A.2k1 B.C.2(2k1)D.【解析】当nk1时,左边(k11)(k12)(k1k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(k1)(k2)(k3)(kk)2(2k1).【答案】C3.设平面内有n条直线(n2),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)_;当n4时,f(n)_(用n表示). 【导学号:38000058】【解析】f(2)0,f(3)2,f(4)5,f(5)9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.所以f(3)f(2)2,f(4)f(3)3,f(5)f(4)4,f(n)f(n1)n1.累加,得f(n)f(2)234(n1)(n2).所以f(n)(n1)(n2).【答案】5(n1)(n2)4.已知ABC的三边长是有理数.(1)求证:cos A是有理数;(2)求证:对任意正整数n,cos nA和sin Asin nA都是有理数.【证明】(1)由AB,BC,AC为有理数及余弦定理知cos A 是有理数.(2)用数学归纳法证明cos nA和sin Asin nA都是有理数.当n1时,由(1)知cos A是有理数,从而有sin Asin A1cos2A也是有理数.假设当nk(k1)时,cos kA和sin Asin kA都是有理数.当nk1时,由cos(k1)Acos Acos kAsin Asin kA,sin Asin(k1)Asin A(sin Aco
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