高中数学第三章统计案例3.1第1课时回归分析的基本步骤及相关系数学案新人教A版.docx

3.1 第一课时 回归分析的基本步骤及相关系数一、课前准备1.课时目标(1) 会用散点图判断两个变量是否具备相关性；(2) 能利用公式求两个相关变量的线性回归方程；(3) 了解相关系数r刻画回归效果.2.基础预探1.函数关系是一种 关系.而相关关系是一种 关系. 是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.2.线性回归方程中, ， ，其中 ， ，_称为()(=1,2,n)的中心点.3.利用相关系数r刻画回归效果r = = ；用它来衡量它们之间的线性相关程度.|r| ，且|r|越接近于 ，相关程度越大；|r|越接近于 ，相关程度越小.二、学习引领1.常见的两个变量之间的关系常见的两个变量之间的关系有两种：函数关系是一种确定性的关系，例如正方形的周长C=4a，周长C与边长a之间就是一种确定性关系.对于自变量边长的每一个确定的值，都有唯一确定的周长的值与之相对应；当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系，如人的身高与年龄之间的关系，显然，相关关系是一种非确定性关系. 2.求线性回归直线方程的步骤第一步：列表表示xi,yi, xi2,xiyi ;第二步：利用公式计算；第三步：代人公式计算的值；第四步：写出回归直线方程.3.计算线性回归方程的系数的技巧计算线性回归方程的有关量时，由于数据运算量比较大，如果不进行系统的处理容易出错.一般推荐利用下表计算的需要的参数值.12n合计利用上表值易求，= , =.4.利用量化的观点研究两个变量的相关性给定一组值，由散点图判定其是否在一条直线附近主观性太强，统计中还通常用相关系数r，来检验两个变量之间线性相关关系的强弱.r的取值有如下特点： 当r0时，lxy0，从而b=0，两个变量的值总体上呈现出同时增加的趋势.此时称两个变量正相关，当|r|越接近于1，相关程度越强. 当r0时，b0.一个变量增加.另一个变量有减少的趋势，称两个变量负相关，当|r|越接近于0，相关程度越弱. 当r=0时.称两个变量线性不相关.若r-1，-0.75时，两变量负相关很强；r0.75，1时，两变量正相关很强；r（-0.75，-0.3或0.3，0.75）时，两变量相关性一般；r-0.25，0.25时，两变量相关很弱.三、典例导析题型一 回归系数与值的统计意义例1 iphone某配件厂生产的某电子产品的产量（千件）与单位成本x（元）满足回归直线方程，则以下说法正确的是（ ） A.产量每增加1000件，单位成本下降元；B.产量每减少1000件，单位成本上升元；C.产量每增加1000件，单位成本上升元；D.产量每减少1000件，单位成本下降元.思路导析：利用给出的回归方程，代入x值便可得到相应的y的估计值.解析：回归直线的斜率为，所以x每增加1，y下降，即电子产品每增加1000件，单位成本下降元，故选A.规律总结：回归直线方程中，的统计学意义是：x每增加(减少)一个单位，y平均改变b个单位；的意义是y不受x变化影响的部分.变式训练：若施化肥量x与水稻产量y的回归直线方程为5x250，当施化肥量为80kg时，预计的水稻产量为_.题型二 线性回归方程的求法及应用例2 通过市场调查，得到某产品的资金投入（万元）与获得的利润（万元）的数据，如下表所示： 资金投入 2 3 4 5 6 利润2 3 5 6 9()画出数据对应的散点图；()根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程；（）现投入资金（万元），求估计获得的利润为多少万元.思维导析：作出散点图，观察是散点否在一条直线附近，便可判断x、y是否具备线性相关.利用线性回归的公式求得回归方程，再估算投资10万元时获得的利润值.解析：()由、的数据可得对应的散点图为：从图上可知，这些点大致分布在一条直线附近，故资金投入（万元）与获得的利润（万元）显著线性相关关系. ()，.所以，所以.（）当（万元），（万元），所以投入资金（万元），估计获得的利润为万元.规律总结：计算回归直线方程前，通常将有关数据列成表格，然后计算出各个量，这样处理会降低运算的难度，提高运算的准确率.变式训练：假定新型水稻基本亩数上(单位：亩)与成熟期有效穗，(单位：十万)之间存在相关关系，今测得5组数据如下：x1525293645y3942434551(1)以x为解释变量,y为预报变量，作出散点图；(2)求y与x之间的回归方程；(3)估计l00亩此新型水稻的成熟期有效穗数.题型三 利用相关性检验确定相关关系例3 在庆祝泰华世纪城开业一周年之际，家电部门经理向全体员工汇报了每个月的销售情况，下表是某个员工记录的部分月份的销售额（单位：万元）的有关数据，月份24568销售额3040605070 （1）画出散点图 ，判断月份和销售额两变量之间是否有线性相关关系； （2）对变量x与y进行相关性检验，求出线性回归方程； （3）试估计12月份的销售额.思路导析：通过散点图和相关系数对x、y是否具备相关关系进行判断，然后利用公式求得x、y之间的回归方程，代入数据即可估算12月份的销售额.解析:(1) 把月份x作为横坐标，相应的月销售额y作为纵坐标，在直角坐标系中描点（xi，yi）（i=1，2，3，4）作出散点图如图所示. 由图可以看出，各点都在一条直线附近，所以月份与销售额之间有线性相关关系，求回归直线方程有意义. （2）因为 , ， 所以 | r |的值接近于1，因此，月份x与销售额y之间存在着显著的线性关系. 所以 ， 于是所求的回归直线方程是(3)当时，销售额的值，所以12月份的销售额约为95.5万元.方法规律：如果两个变量之间不具有相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出了回归直线方程也是毫无意义的，而且估计和预测的量也是不可信的.因此，在解答回归方程问题时要先进行相关性检验，通过检验确认两个变量是否具有线性相关关系，再求其回归直线方程.检验的方法可以利用散点图，也可以利用样本相关关系数r.变式训练：有5名学生的数学和化学成绩如下表所示：学科学生ABCDE数学成绩（）8876736663化学成绩（）7865716461（1）判断y与是否具有相关关系；（2）如果y与具有相关关系，求回归直线方程；（3）预测如果某学生成绩为79分时，他的化学成绩为多少？四、随堂练习1.关于回归方程下列说法正确的是( ) A.回归方程适用于一切总体 B.我们建立的回归方程都能很好地估计预报变量可能的取值 C.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围D.回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值2.在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x之间的线性回归方程为 ( )A.=x+l B.=x+2 C.=2x+l D.=x-l3.工人的月工资(元)与劳动生产率(千元)变化的回归方程为=50+80x，以下判断正确的是( )A.劳动生产率是1000元,工资为130元B.劳动生产率提高l000元,工资提高80元C.劳动生产率提高l000元,工资提高130元D.当月工资为210元,劳动生产率为2000元4. 某五星级大饭店的住屋率（%）与每天每间客房的价格（元）关系如下：1007565555020002500280032004000则关于回归直线方程是.5.针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进行线性回归分析如下：月份产量（千件）单位成本（元/件）127341462372921634711628443739219546916276656825340合计21426791481则产量每增加1000件，单位成本下降元.6.下表是某地年降雨量与年平均气温，两者具有相关关系吗?求回归直线方程有意义吗?年平均气温()1 2.511 2.841 2.8413.6913.3312.7413.051年降雨量(mm)74854250781 3574701432五、课后作业1.对于回归分析，下列说法错误的是 （）A.在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B.线性相关系数可以是正的或负的C.回归分析中，如果，说明与之间完全线性相关D.样本相关系数2.已知x、y的取值如下表所示x0134y5.24.34.85.7从散点图分析，y与x线性相关，且，则（ ） A.2.30 B.2.40 C.3.10 D.3.设某种产品产量为1000件时，其生产成本为30000元，其中固定成本为6000元，则总生产成本对产量的线性回归方程是 .4.下列命题错误的个数是 . （1）康乃馨、蝴蝶兰、洋兰是母亲节期间常见的花卉，一花农为了在节前能培育出三种花卉，便利用蝴蝶兰的温度（x）与发芽率（y）之间的回归方程来预测洋兰的发芽率. （2）一饲料商人，根据多年的经销经验，得到广告费用（x万元）与销售量（y万吨）之间的关系大体上为，于是投入广告费用100万元，并信心十足地说，今年销售量一定达到47万吨以上. （3）已知女大学生的身高和体重之间的回归方程为，若小明今年岁，已知他的身高是，则他的体重为左右5.已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下表血球体积（）45424648423558403950红血球数（百万）6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72若已知二者相关，求出回归直线方程.6.一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果： 转速（转/秒）1614128每小时生产有缺点的零件数（件）11985（1）对变量与进行相关性检验；（2）如果与有线性相关关系，写出回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度就控制在什么范围内？参考答案3.1 第一课时 2.基础预探1.确定性 非确定性 回归分析2. ()3. 1 1 0三、典例导析例1 变式训练解析：当x=80kg时，=580+250=650.答案：650kg例2 变式训练解：（1）散点图如下图所示： (2)由图看出.样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系.因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.设回归方程y=bx+a ，由表中的数据可知， =30，=44.代入公式可知=0.54 ， =-=27.8.故回归直线方程为=0.54x+27.8.（3）当x=100时，=54+27.8=81.8万.所以，100亩此新型水稻的成熟期有效穗数为81.8.例3 变式训练解析：（1）因为|r|的值接近于1，因此，认为两个变量与Y之间具有线性相关关系.回归直线方程为（3）当79时，这就是说，当某学生的数学成绩为79分时，他的化学成绩约为71分.四、随堂练习1.解析：A错.回归方程仅适用于我们研究的总体，超出这个范围，可能会没有意义；B错，当相关指数r接近于l时，回归方程才能很好地估计预报变量的取值；D错，得到的应为估计值.答案：C2.解析：由于回归直线过点(，),=2.5，=3.5，代入A、B、C、D可知.选项A正确.答案：A3.解析：根据回归方程回归系数的意义可知：生产率每提高1000元，则工资提高80元.答案：B4. 解析：根据回归方程的参数公式计算可得.答案：.5.答案：1.8182 6.解：以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可得相应的散点图如图因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有相关关系，如果用公式求得回归直线也是没有意义的.五、课后作业1.解析：样本相关系数.答案：D2.解析：因为，将代入得.答案：D3.答案：解析：设回归直线方程为，因为x=1000时，30000，所以4.答案：3解析:对于（1）其在很大程度上，看中的是三种花卉